Para fornecer água para uma fábrica de papel e celulose, uma bomba centrífuga deve ser comprada para operar a 2000 rpm e deverá apresentar a seguinte especificação:
\Phi_{1}=100 \mathrm{~mm} ; \quad \Phi_{2}=250 \mathrm{~mm} ; \quad b_{1}=50 \mathrm{~mm} ; \quad b_{2}=18 \mathrm{~mm} ; \quad \beta_{1}=18^{\circ} ; \quad \beta_{2}=22^{\circ} 30^{\prime}, a_{1}=90^{\circ};. Z=5; e pás sem guias.
Dados: \varepsilon=0,88 ; \eta=0,76
\beta_{2} 20^{\circ} 23^{\circ} 25^{\circ} 30^{\circ} 35^{\circ} 40^{\circ}
\psi (pás com guias) 0,76 0,80 0,81 0,85 0,90 0,94
\psi (pás sem guias) 0,86 0,90 0,91 0,95 1,00 1,04
Determinar a altura de elevação e a potência do motor.

Passo 1

O enunciado pede que você calcule a altura de elevação (a carga hidráulica) que a bomba fornece e a potência do motor necessária para essa carga. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
  • Diâmetros: \Phi_{1}=100\\ \mathrm{mm} e \Phi_{2}=250\\ \mathrm{mm}.
  • Larguras (espessuras do anel de fluxo): b_{1}=50\\ \mathrm{mm} e b_{2}=18\\ \mathrm{mm}.
  • Ângulos nas pás: \beta_{1}=18^\circ e \beta_{2}=22^\circ30' (ou seja \beta_{2}=22{,}5^\circ).
  • Ângulo absoluto de entrada: a_{1}=90^\circ.
  • Número de pás: Z=5 (informação presente, não será necessária diretamente nos cálculos abaixo).
  • Pás sem guias (importante para escolher o coeficiente \psi na tabela).
  • Velocidade de rotação: n=2000\\ \mathrm{rpm}.
  • Coeficiente de escorregamento (slip) fornecido: \varepsilon=0{,}88 (está disponível, mas usaremos o coeficiente \psi dado na tabela).
  • Eficiência global da bomba: \eta=0{,}76.
  • Tabela dada (trecho relevante): para pás sem guias e \beta_{2}\approx23^\circ tem \psi igual a 0{,}90 (vou usar esse valor por proximidade de 22{,}5^\circ).
Constantes que vamos assumir (água):
  • Densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Resumo do que vamos calcular:
  1. Vazão Q a partir das dimensões e do triângulo de velocidades na entrada (usando a_1=90^\circ e \beta_1).
  2. Velocidade periférica na saída U_2.
  3. Altura hidráulica H usando o coeficiente adimensional \psi da tabela: \displaystyle H=\frac{\psi\,U_2^2}{g}.
  4. Potência hidráulica \,P_{hid}=\rho g Q H e potência do motor \,P_{mot}=\dfrac{P_{hid}}{\eta}.

Passo 2

Convertemos unidades e calculamos as velocidades periféricas.
  • Converter diâmetros e larguras para metros: \Phi_{1}=0{,}100\\ \mathrm{m},\qquad \Phi_{2}=0{,}250\\ \mathrm{m},
r_{1}=\frac{\Phi_{1}}{2}=0{,}050\\ \mathrm{m},\qquad r_{2}=\frac{\Phi_{2}}{2}=0{,}125\\ \mathrm{m},
b_{1}=0{,}050\\ \mathrm{m},\qquad b_{2}=0{,}018\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade de rotação em revoluções por segundo:
    n=\frac{2000}{60}=33{,}333\\ \mathrm{s^{-1}}.
  • Velocidade periférica (circunferencial) na entrada e na saída. Fórmula útil: \displaystyle U=\pi D\,n (porque U=\omega r=2\pi n\cdot\frac{D}{2}=\pi D n).
    U_{1}=\pi\Phi_{1} n=\pi\cdot0{,}100\cdot33{,}333\approx10{,}472\\ \mathrm{m/s},
U_{2}=\pi\Phi_{2} n=\pi\cdot0{,}250\cdot33{,}333\approx26{,}180\\ \mathrm{m/s}.
Expliquei: U é a velocidade linear da pá na sua circunferência (importante para as relações de energia de Euler).

Passo 3

Calcular a vazão Q usando o triângulo de velocidades na entrada.
  • Conceito: no plano meridional (radial/axial) a velocidade meridional V_{m1} na entrada está relacionada ao triângulo de velocidades relativo pela tangente do ângulo da pá \beta_{1}. A relação geral do triângulo de entrada é
    \tan\beta_{1}=\frac{V_{m1}}{U_{1}-V_{u1}}.
    Aqui V_{u1} é a componente tangencial da velocidade absoluta na entrada. Como foi dado a_{1}=90^\circ, a velocidade absoluta de entrada é puramente radial (sem componente tangencial), então V_{u1}=0. Assim simplifica:
    V_{m1}=U_{1}\tan\beta_{1}.
    (Interpretação: a componente meridional é obtida a partir da velocidade da pá e do ângulo da pá na entrada.)
  • Agora a vazão volumétrica Q atravessando o anel na entrada é a área circunferencial vezes a velocidade meridional:
    Q = \text{área}_{1}\cdot V_{m1} = \bigl(2\pi r_{1} b_{1}\bigr)\,V_{m1}.á
    Explico: a área do anel por onde o fluido passa é a circunferência 2\pi r_{1} multiplicada pela largura b_{1}.
  • Cálculo numérico:
    \tan\beta_{1}=\tan18^\circ\approx0{,}3240,
V_{m1}=U_{1}\tan\beta_{1}\approx10{,}472\cdot0{,}3240\approx3{,}391\\ \mathrm{m/s}.
Q=2\pi r_{1} b_{1} V_{m1}=2\pi\cdot0{,}05\cdot0{,}05\cdot3{,}391\approx0{,}05327\\ \mathrm{m^3/s}.
Dica prática: esse Q equivale a cerca de 53{,}3\\ \mathrm{L/s}. Anote que Q é obtido sem usar a eficiência; depende só da geometria e rotação.

Passo 4

Escolha do coeficiente \psi e cálculo da altura H.
  • Significado de \psi: é o coeficiente adimensional de carga da bomba definido por
    \psi=\frac{gH}{U_{2}^{2}},
    ou equivalentemente
    H=\frac{\psi\,U_{2}^{2}}{g}.
    Ele incorpora o efeito do perfil das pás, do ângulo de saída e perdas de giro (algumas tabelas já trazem esse \psi experimental/empírico).
  • Usando a tabela dada para pás sem guias e \beta_{2}=22^\circ30' (aproximamos para 23^\circ) obtemos:
    \psi\approx0{,}90.
    (Interpretei a tabela: para pás sem guias e \beta_2 próximo de 23^\circ, \psi=0{,}90.)
  • Calcular H:
    U_{2}^{2}\approx(26{,}180)^2\approx685{,}4\\ \mathrm{(m^2/s^2)},
H=\frac{\psi\,U_{2}^{2}}{g}=\frac{0{,}90\cdot685{,}4}{9{,}81}\approx62{,}87\\ \mathrm{m}.
Comentário rápido: eu poderia também usar uma expressão teórica com o fator de escorregamento \varepsilon (por exemplo \psi=\varepsilon(1-\varphi\cot\beta_2) com \varphi coeficiente de fluxo), mas como o enunciado forneceu explicitamente a tabela de \psi para pás sem guias, é apropriado usar esse \psi empírico.

Passo 5

Cálculo da potência hidráulica e da potência do motor.
  • Potência hidráulica entregue ao fluido:
    P_{hid}=\rho\,g\,Q\,H.
    Substituindo os valores:
    P_{hid}=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}05327\cdot62{,}87\\ \mathrm{W}\approx32\,850\\ \mathrm{W}\approx32{,}85\\ \mathrm{kW}.
  • Potência do motor (considerando a eficiência \eta):
    P_{mot}=\frac{P_{hid}}{\eta}=\frac{32\,850}{0{,}76}\\ \mathrm{W}\approx43\,220\\ \mathrm{W}\approx43{,}22\\ \mathrm{kW}.
Observação motivadora: estamos quase lá — a potência do motor é sempre maior que a potência hidráulica por causa das perdas (aí entra \eta).

Resposta

Altura de elevação H\approx62{,}87\\ \mathrm{m}.
Potência do motor P_{mot}\approx43{,}22\\ \mathrm{kW}.

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