Um pequeno cubo metálico de lado L com propriedades ( \rho, \mathrm{c} ) conhecidas, está imerso em um fluido (h, Tf) de modo que sua temperatura possa ser considerada aproximadamente uniforme. A base do cubo está em contato com o chão que também está a Tf. Considere que a transferência de calor entre o cubo e o chão pode ser contabilizada utilizando um coeficiente de transferência de calor \mathrm{h}_{\mathrm{c}} devido ao contato térmico imperfeito. A temperatura inicial do cubo é \mathrm{T}_{0} e sabe-se que \mathrm{T}_{0}<\mathrm{Tf}.
(a) Deduza a equação diferencial de parâmetros concentrados que rege o problema.
(b) Resolva a equação e determine a variação da temperatura do objeto com o tempo.
(c) Esboce o gráfico da variação da temperatura com o tempo.
(d) Explique o que aconteceria se a temperatura inicial do objeto fosse Tf.
(e) Explique para quais condições a aproximação de parâmetros concentrados pode ser aplicada.

Passo 1

Enunciado resumido — o que é dado e o que se pede:
  • Temos um pequeno cubo metálico com lado \,L, massa por unidade de volume \,\rho e capacidade térmica específica \,c.
  • O cubo está imerso em um fluido cuja temperatura é \,T_f e o coeficiente de convecção fluido–sólido é \,h.
  • A base do cubo está em contato com o chão cuja temperatura é também \,T_f; o contato térmico com o chão é imperfeito e pode ser modelado por um coeficiente de contato \,h_c.
  • Temperatura inicial do cubo: \,T(0)=T_0, com \,T_0<T_f.
  • Pede-se:
    (a) deduzir a equação diferencial de parâmetros concentrados que rege o problema;
    (b) resolver a equação e obter a variação da temperatura com o tempo T(t);
    (c) esboçar o gráfico de T(t) no tempo;
    (d) explicar o que acontece se T_0=T_f;
    (e) explicar as condições de validade da aproximação de parâmetros concentrados.

Passo 2

Modelagem física e balanço de energia — escrevendo a equação diferencial.
Primeiro vamos montar o balanço de energia do cubo usando a hipótese de temperatura uniforme (parâmetros concentrados). A energia interna do cubo varia conforme:
\text{taxa de variação de energia interna}=\text{potência de calor recebida do fluido e do chão}.çãêã
Elementos necessários:
  • Volume do cubo: \,V=L^3.
  • Massa do cubo: \,m=\rho V=\rho L^3.
  • Capacidade térmica total: \,m c=\rho c L^3.
  • Área de cada face: \,A_{\text{face}}=L^2.
  • Superfícies que trocam calor:
    • Cinco faces expostas ao fluido (as quatro laterais + topo): área total para convecção com o fluido \,A_{\text{conv}}=5L^2.
    • Base em contato com o chão: área \,A_{\text{base}}=L^2, com coeficiente de contato \,h_c.
Expressão para potência por convecção (ou contato linearizado): em cada superfície a taxa de calor (positiva quando entra no cubo) é
\dot Q = h_{\text{local}} A_{\text{local}}(T_f-T),
onde \,T é a temperatura uniforme do cubo.
Somando contribuições das 5 faces com coeficiente \,h e da base com coeficiente \,h_c, a taxa total de calor recebida é
\dot Q_{\text{tot}} = 5 h L^2 (T_f-T) + h_c L^2 (T_f-T) = L^2(5h + h_c)\,(T_f-T).
Agora o balanço de energia (primeira lei) no cubo:
\rho c L^3 \,\frac{dT}{dt} = L^2(5h + h_c)\,(T_f-T).
Dividindo ambos os lados por \rho c L^3 obtemos a equação diferencial de primeiros parâmetros concentrados procurada:
\boxed{\frac{dT}{dt} = \frac{5h + h_c}{\rho c L}\,(T_f - T).}
Aqui cada símbolo significa:
  • \,T(t): temperatura do cubo no tempo t.
  • \,T_f: temperatura do fluido (e do chão).
  • \,h: coeficiente de convecção fluido–sólido (faces expostas).
  • \,h_c: coeficiente de contato térmico base–chão.
  • \,\rho: densidade do material do cubo.
  • \,c: calor específico do material.
  • \,L: lado do cubo.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial — separação de variáveis e constante de tempo.
A equação encontrada é uma equação linear de primeira ordem com coeficientes constantes. É mais simples de resolver por separação de variáveis. Escrevemos:
\frac{dT}{dt} = k\,(T_f - T),
onde definimos para simplificar a notação
k \equiv \frac{5h + h_c}{\rho c L}.
Note que \,k>0 pois todos os parâmetros são positivos.
Reescrevendo para separar as variáveis:
\frac{dT}{T_f - T} = k\,dt.
Integrando ambos os lados: à esquerda integramos em T, à direita em t:
\int_{T_0}^{T(t)} \frac{dT}{T_f - T} = \int_{0}^{t} k\,dt.
A primitiva no lado esquerdo é -\ln|T_f - T|. Fazendo as contas:
-\ln\big|T_f - T(t)\big| + \ln\big|T_f - T_0\big| = k t.
Isolando \ln e exponenciando:
\ln\frac{T_f - T_0}{T_f - T(t)} = k t \quad\Rightarrow\quad \frac{T_f - T(t)}{T_f - T_0} = e^{-k t}.
Finalmente:
T_f - T(t) = (T_f - T_0)\,e^{-k t},
ou, reorganizando,
\boxed{T(t)=T_f - (T_f - T_0)\,e^{-k t}.}
Substituindo k pela expressão em termos dos parâmetros, podemos escrever também em termos da constante de tempo \tau. Definimos a constante de tempo
\boxed{\tau \equiv \frac{1}{k} = \frac{\rho c L}{5h + h_c}.}
Assim a solução fica na forma muito usada:
\boxed{T(t)=T_f - (T_f - T_0)\,e^{-t/\tau}.}
Interpretação: a temperatura do cubo evolui exponencialmente em direção a \,T_f com constante de tempo \,\tau.

Passo 4

Discussão do comportamento físico (inclui itens (b) e (c) pedidos)
  • Como \,T_0<T_f, o fator (T_f-T_0)>0. Então T(t) aumenta com o tempo e tende assintoticamente para \,T_f quando t\to\infty. O comportamento é um crescimento exponencial amortecido: diferença (T_f-T) decai como e^{-t/\tau}.
  • Gráfico esquemático de T(t): no eixo vertical \,T, no horizontal \,t. Para t=0 temos T(0)=T_0. A curva sobe rapidamente no início (dependendo de \tau) e se aproxima assintoticamente de T_f sem ultrapassá-lo. A forma é a de uma curva exponencial de relaxação.
(Descrição do esboço: começar em \,T_0 no instante t=0, subir com concavidade negativa e aproximar-se de \,T_f horizontalmente. Em t=\tau a diferença (T_f-T) já caiu para e^{-1}\approx0{,}37 do valor inicial.)

Passo 5

O que aconteceria se a temperatura inicial do objeto fosse \,T_0=T_f (item (d)).
  • Colocando T_0=T_f na solução geral obtemos
T(t)=T_f - (T_f - T_0)\,e^{-t/\tau}=T_f.
  • Isso significa \,T(t) permanece igual a \,T_f para todo t. Fisicamente, não há gradiente de temperatura entre cubo e ambiente/chão e portanto não há troca líquida de calor; o estado é de equilíbrio térmico estacionário. (Na prática, pequenas perturbações podem gerar pequenas trocas, mas no modelo ideal permanece T=T_f.)

Passo 6

Condições de validade da aproximação de parâmetros concentrados (item (e)) — teoria e recomendações práticas.
A aproximação de parâmetros concentrados (também chamada de hipótese de temperatura uniforme ou método de capacitância concentrada) assume que a temperatura dentro do corpo é espacialmente uniforme em todos os tempos. Para que isso seja aceitável devemos garantir que a resistência térmica interna por condução seja muito menor que a resistência térmica de convecção/contato na superfície.
Quantitativamente usa-se o número de Biot:
\text{Bi}=\frac{h_{\text{char}}\,L_c}{k},
onde
  • \,k é a condutividade térmica do material do cubo,
  • \,L_c é o comprimento característico geométrico definido por \,L_c=V/A (volume dividido pela área total pela qual ocorre troca de calor),
  • \,h_{\text{char}} é um coeficiente de troca característico (usar o maior valor entre \,h e \,h_c para segurança).
Para o cubo:
V=L^3,\qquad A_{\text{total}}=6L^2\quad\Rightarrow\quad L_c=\frac{V}{A_{\text{total}}}=\frac{L}{6}.
Portanto, tomar
\text{Bi}\approx\frac{h_{\text{char}}\,L}{6k}.
Regra prática: a aproximação de temperatura uniforme é boa se
\boxed{\text{Bi}\lesssim 0{,}1.}
Se \text{Bi} é pequeno significa que a resistência interna por condução é desprezível em comparação com a resistência convectiva na superfície — logo o corpo responde praticamente como um corpo de temperatura única.
Outras condições/pressupostos importantes do modelo que devem ser satisfeitas:
  • Propriedades \,\rho,c,k constantes (ou variação pequena com T).
  • Não há geração interna de calor no corpo.
  • Transferência de calor linearizada (coeficientes h e h_c constantes ou aproximadamente constantes).
  • Geometria relativamente simples e sem grandes heterogeneidades internas.
  • Para o caso de superfícies com coeficientes muito diferentes (por exemplo \,h_c muito pequeno comparado a \,h), pode haver gradientes locais perto da base; então convém verificar a validade do \text{Bi} usando o maior h_{\text{char}} ou, no caso extremo, resolver o problema com distribuição espacial de temperatura (equação de difusão unidimensional ou tridimensional).

Resposta

(a) \displaystyle \rho c L^3\,\frac{dT}{dt}=L^2(5h+h_c)\,(T_f-T), ou equivalentemente \displaystyle \frac{dT}{dt}=\frac{5h+h_c}{\rho c L}\,(T_f-T).\n
(b) \displaystyle T(t)=T_f-(T_f-T_0)\,e^{-t/\tau}, com \displaystyle \tau=\frac{\rho c L}{5h+h_c}.\n
(c) Curva exponencial que parte de T(0)=T_0 e cresce assintoticamente para T_f; a diferença T_f-T decresce como e^{-t/\tau} (em t=\tau a diferença vale \,e^{-1} do valor inicial).\n
(d) Se T_0=T_f então T(t)=T_f para todo t (nenhuma variação de temperatura; equilíbrio térmico).\n
(e) A aproximação de parâmetros concentrados é válida quando o número de Biot é pequeno, tipicamente \displaystyle \text{Bi}=\frac{h_{\text{char}}L_c}{k}\lesssim0{,}1, com \displaystyle L_c=\frac{V}{A}=\frac{L}{6} para o cubo; além disso pressupõe propriedades constantes, sem geração interna e coeficientes h,h_c aproximadamente constantes.

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