Em uma parede de dimensões em
e z respectivamente
ocorre condução de calor apenas na direção x com geração de energia
em regime permanente. A condutividade térmica da parede k é uma constante. Sabendo que em
, a a superfície é mantida a
e a temperatura da parede em
é mantida a
.
(a) Escreva a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) que rege o problema simplificando a equação geral da condução e justificando.
(b) Resolva a formulação matemática e determine o perfil de temperatura em função de x .
(c) Determine o fluxo de calor na parede em função de x .
(d) Faça um esboço do perfil de temperatura.
(e) Determine a posição onde a temperatura é máxima e a temperatura nesse ponto.
(a) Escreva a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) que rege o problema simplificando a equação geral da condução e justificando.
(b) Resolva a formulação matemática e determine o perfil de temperatura em função de x .
(c) Determine o fluxo de calor na parede em função de x .
(d) Faça um esboço do perfil de temperatura.
(e) Determine a posição onde a temperatura é máxima e a temperatura nesse ponto.
Passo 1
O enunciado dá uma parede de espessura
na direção
(dimensões em
e
existem mas não importam porque o problema é unidimensional), com geração volumétrica de calor constante
e condutividade térmica constante
. As temperaturas nas faces são mantidas: em
a temperatura é
e em
a temperatura é
.
O que o enunciado pede:
(a) Escrever a formulação matemática: equação diferencial que rege o problema e as condições de contorno (justificando a simplificação da equação geral).
(b) Resolver a formulação e determinar o perfil de temperatura .
(c) Determinar o fluxo de calor através da parede em função de .
(d) Fazer um esboço qualitativo do perfil de temperatura.
(e) Determinar a posição onde a temperatura é máxima e o valor dessa temperatura.
(a) Escrever a formulação matemática: equação diferencial que rege o problema e as condições de contorno (justificando a simplificação da equação geral).
(b) Resolver a formulação e determinar o perfil de temperatura
(c) Determinar o fluxo de calor através da parede em função de
(d) Fazer um esboço qualitativo do perfil de temperatura.
(e) Determinar a posição onde a temperatura é máxima e o valor dessa temperatura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Geração volumétrica de energia:
(constante). - Condutividade térmica:
(constante). - Regime permanente (estado estacionário).
- Condução somente na direção
. - Condições de contorno:
e .
Passo 2
Justificando e escrevendo a equação diferencial geral e sua simplificação.
A equação geral da condução de calor em regime permanente com geração volumétrica é
Explicando:
é o operador gradiente/divergência;
representa a divergência do fluxo de calor condutivo;
é a condutividade;
é a geração interna por unidade de volume. Em regime permanente a derivada temporal é nula, por isso aparece essa equação.
Como o enunciado diz que ocorre condução apenas na direção
e que
é constante, a equação reduz-se a uma equação unidimensional:
Como
é constante, podemos simplificar:
As condições de contorno (fornecidas) são:
Portanto a formulação matemática do problema (resposta do item (a)) é a equação
com as condições de contorno
Passo 3
Resolver a equação diferencial (primeira integração). Reescrevo a equação dividindo por
para ficar mais simples:
Integro uma vez em relação a
:
onde
é constante de integração. Explicando: integrar uma constante dá uma função linear em
, e
aparece porque integração indefinida sempre traz uma constante.
Passo 4
Segunda integração para obter
.
Integro novamente:
onde
é outra constante de integração. Novamente, explique: integrar a expressão linear em
dá o termo quadrático dividido por
, mais a constante
.
Agora aplico as condições de contorno para determinar
e
.
Em
:
Em
:
Isolando
:
Passo 5
Escrever a expressão final para o perfil de temperatura
(resposta do item (b)) substituindo
e
na expressão geral.
Substituindo obtemos
Podemos reorganizar em forma mais intuitiva:
Explicando a forma: o primeiro termo
é a temperatura linear que existiria sem geração interna; o termo com
altera esse perfil adicionando curvatura (parabólica) devido à geração interna.
Passo 6
Determinar o fluxo de calor em função de
(item (c)). Usamos a lei de Fourier unidimensional:
Já calculamos
no Passo 3:
Portanto
Substituindo
(obtido no Passo 4):
logo
Podemos reorganizar:
Observações práticas: o sinal de
segue a convenção adotada (fluxo positivo no sentido de
se assim definido). Aqui a fórmula mostra como o termo de geração cria uma distribuição linear de fluxo ao longo da espessura.
Passo 7
Esboço qualitativo do perfil de temperatura (item (d)).
Como
é uma parábola em
com termo
, se
a concavidade é para baixo (parábola voltada para baixo): o perfil é curvo, geralmente com um máximo interno (se as condições permitirem) entre
e
. Se
reduz-se a uma linha reta entre
e
. Se
a parábola é côncava para cima e pode haver um mínimo interno.
No esboço mental/rápido: desenhe uma parábola que passa por
e
. Para geração positiva tipicamente a parábola sobe a partir de
, atinge um máximo interno e depois decresce até
, dependendo da diferença
. (Isto é o pedido do item (d): um esboço qualitativo.)
Passo 8
Determinar a posição
e o valor da temperatura máxima
(item (e)).
A posição extrema ocorre onde a derivada é zero:
Logo
Substituindo
obtemos
Explicação da fórmula: o termo
é a posição simétrica (meio da espessura) quando
; o segundo termo desloca o máximo para a direita ou esquerda dependendo do sinal de
.
Para a temperatura máxima, podemos usar a forma do vértice da parábola. Uma forma direta (usando
) é:
Substituindo
explicitamente:
Observação sobre validade: se
cair fora do intervalo
, então o máximo dentro da parede ocorrerá em uma das faces (o valor maior entre
e
). Em muitos casos práticos, com
e diferenças moderadas
,
estará dentro de
.
Resposta
(a)
(b)
(c) com
. Equivalentemente
(d) Esboço: é uma parábola que passa por
e
; para
a concavidade é para baixo (há normalmente um máximo interno); para
o perfil é linear.
(e)
(b)
(c)
(d) Esboço:
(e)