Em uma parede de dimensões em \mathrm{x}, \mathrm{y} e z respectivamente \mathrm{L}, \mathrm{He} \mathrm{W} ocorre condução de calor apenas na direção x com geração de energia \dot{q}^{\prime \prime \prime} em regime permanente. A condutividade térmica da parede k é uma constante. Sabendo que em \quad \mathrm{x}=0, a a superfície é mantida a \mathrm{T}_{0} e a temperatura da parede em \mathrm{x}=\mathrm{L} é mantida a \mathrm{T}_{\mathrm{L}}.
(a) Escreva a formulação matemática (equação diferencial e condições de contorno) que rege o problema simplificando a equação geral da condução e justificando.
(b) Resolva a formulação matemática e determine o perfil de temperatura em função de x .
(c) Determine o fluxo de calor na parede em função de x .
(d) Faça um esboço do perfil de temperatura.
(e) Determine a posição onde a temperatura é máxima e a temperatura nesse ponto.

Passo 1

O enunciado dá uma parede de espessura L na direção x (dimensões em y e z existem mas não importam porque o problema é unidimensional), com geração volumétrica de calor constante \dot{q}^{\prime\prime\prime} e condutividade térmica constante k. As temperaturas nas faces são mantidas: em x=0 a temperatura é \,T_0 e em x=L a temperatura é \,T_L.
O que o enunciado pede:
(a) Escrever a formulação matemática: equação diferencial que rege o problema e as condições de contorno (justificando a simplificação da equação geral).
(b) Resolver a formulação e determinar o perfil de temperatura T(x).
(c) Determinar o fluxo de calor através da parede em função de x.
(d) Fazer um esboço qualitativo do perfil de temperatura.
(e) Determinar a posição onde a temperatura é máxima e o valor dessa temperatura.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Geração volumétrica de energia: \dot{q}^{\prime\prime\prime} (constante).
  • Condutividade térmica: k (constante).
  • Regime permanente (estado estacionário).
  • Condução somente na direção x.
  • Condições de contorno: T(0)=T_0 e T(L)=T_L.

Passo 2

Justificando e escrevendo a equação diferencial geral e sua simplificação.
A equação geral da condução de calor em regime permanente com geração volumétrica é
\nabla\cdot\bigl(k\nabla T\bigr)+\dot{q}^{\prime\prime\prime}=0.
Explicando: \nabla é o operador gradiente/divergência; \nabla\cdot(k\nabla T) representa a divergência do fluxo de calor condutivo; k é a condutividade; \dot{q}^{\prime\prime\prime} é a geração interna por unidade de volume. Em regime permanente a derivada temporal é nula, por isso aparece essa equação.
Como o enunciado diz que ocorre condução apenas na direção x e que k é constante, a equação reduz-se a uma equação unidimensional:
\frac{d}{dx}\!\left(k\frac{dT}{dx}\right)+\dot{q}^{\prime\prime\prime}=0.
Como k é constante, podemos simplificar:
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\dot{q}^{\prime\prime\prime}=0.
As condições de contorno (fornecidas) são:
T(0)=T_{0}
T(L)=T_{L}.
Portanto a formulação matemática do problema (resposta do item (a)) é a equação
k\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\dot{q}^{\prime\prime\prime}=0
com as condições de contorno
T(0)=T_{0},\qquad T(L)=T_{L}.

Passo 3

Resolver a equação diferencial (primeira integração). Reescrevo a equação dividindo por k para ficar mais simples:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}.
Integro uma vez em relação a x:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}\,x+C_{1},
onde C_{1} é constante de integração. Explicando: integrar uma constante dá uma função linear em x, e C_1 aparece porque integração indefinida sempre traz uma constante.

Passo 4

Segunda integração para obter T(x).
Integro novamente:
T(x)=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,x^{2}+C_{1}x+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Novamente, explique: integrar a expressão linear em x dá o termo quadrático dividido por 2, mais a constante C_2.
Agora aplico as condições de contorno para determinar C_{1} e C_{2}.
Em x=0: \;T(0)=T_{0}\Rightarrow
T_{0}=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,0^{2}+C_{1}\cdot 0 + C_{2}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=T_{0}.
Em x=L: \;T(L)=T_{L}\Rightarrow
T_{L}=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L^{2}+C_{1}L+T_{0}.
Isolando C_{1}:
C_{1}=\frac{T_{L}-T_{0}}{L}+\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L.

Passo 5

Escrever a expressão final para o perfil de temperatura T(x) (resposta do item (b)) substituindo C_{1} e C_{2} na expressão geral.
Substituindo obtemos
T(x)=T_{0}+\left(\frac{T_{L}-T_{0}}{L}+\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L\right)x-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,x^{2}.
Podemos reorganizar em forma mais intuitiva:
T(x)=T_{0}+\frac{T_{L}-T_{0}}{L}\,x+\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\bigl(Lx-x^{2}\bigr).
Explicando a forma: o primeiro termo T_{0}+ \frac{T_{L}-T_{0}}{L}x é a temperatura linear que existiria sem geração interna; o termo com \dot{q}^{\prime\prime\prime} altera esse perfil adicionando curvatura (parabólica) devido à geração interna.

Passo 6

Determinar o fluxo de calor em função de x (item (c)). Usamos a lei de Fourier unidimensional:
q_{x}^{\prime\prime}(x)=-k\frac{dT}{dx}.
Já calculamos \dfrac{dT}{dx} no Passo 3:
\frac{dT}{dx}=-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}\,x+C_{1}.
Portanto
q_{x}^{\prime\prime}(x)=-k\left(-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}\,x+C_{1}\right)=\dot{q}^{\prime\prime\prime}\,x-kC_{1}.
Substituindo C_{1} (obtido no Passo 4):
kC_{1}=k\frac{T_{L}-T_{0}}{L}+\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2}\,L,
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q_{x}^{\prime\prime}(x)=\dot{q}^{\prime\prime\prime}\,x-k\frac{T_{L}-T_{0}}{L}-\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2}\,L.
Podemos reorganizar:
q_{x}^{\prime\prime}(x)=-k\frac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dot{q}^{\prime\prime\prime}\Bigl(x-\frac{L}{2}\Bigr).
Observações práticas: o sinal de q_{x}^{\prime\prime} segue a convenção adotada (fluxo positivo no sentido de +\!x se assim definido). Aqui a fórmula mostra como o termo de geração cria uma distribuição linear de fluxo ao longo da espessura.

Passo 7

Esboço qualitativo do perfil de temperatura (item (d)).
Como T(x) é uma parábola em x com termo -\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}x^{2}, se \dot{q}^{\prime\prime\prime}>0 a concavidade é para baixo (parábola voltada para baixo): o perfil é curvo, geralmente com um máximo interno (se as condições permitirem) entre x=0 e x=L. Se \dot{q}^{\prime\prime\prime}=0 reduz-se a uma linha reta entre T_{0} e T_{L}. Se \dot{q}^{\prime\prime\prime}<0 a parábola é côncava para cima e pode haver um mínimo interno.
No esboço mental/rápido: desenhe uma parábola que passa por (0,T_{0}) e (L,T_{L}). Para geração positiva tipicamente a parábola sobe a partir de x=0, atinge um máximo interno e depois decresce até x=L, dependendo da diferença T_{L}-T_{0}. (Isto é o pedido do item (d): um esboço qualitativo.)

Passo 8

Determinar a posição x_{\text{max}} e o valor da temperatura máxima T_{\text{max}} (item (e)).
A posição extrema ocorre onde a derivada é zero:
\frac{dT}{dx}= -\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}\,x+C_{1}=0.
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x_{\text{max}}=\frac{kC_{1}}{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}.
Substituindo C_{1}=\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}L obtemos
x_{\text{max}}=\frac{L}{2}+\frac{k}{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}\cdot\frac{T_{L}-T_{0}}{L}.
Explicação da fórmula: o termo \dfrac{L}{2} é a posição simétrica (meio da espessura) quando T_L=T_0; o segundo termo desloca o máximo para a direita ou esquerda dependendo do sinal de T_{L}-T_{0}.
Para a temperatura máxima, podemos usar a forma do vértice da parábola. Uma forma direta (usando C_1) é:
T_{\text{max}}=T_{0}+\frac{kC_{1}^{2}}{2\dot{q}^{\prime\prime\prime}}.
Substituindo C_{1} explicitamente:
T_{\text{max}}=T_{0}+\frac{k}{2\dot{q}^{\prime\prime\prime}}\left(\frac{T_{L}-T_{0}}{L}+\frac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L\right)^{2}.
Observação sobre validade: se x_{\text{max}} cair fora do intervalo [0,L], então o máximo dentro da parede ocorrerá em uma das faces (o valor maior entre T_0 e T_L). Em muitos casos práticos, com \dot{q}^{\prime\prime\prime}>0 e diferenças moderadas T_L-T_0, x_{\text{max}} estará dentro de [0,L].

Resposta

(a) \;k\displaystyle\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\dot{q}^{\prime\prime\prime}=0,\qquad T(0)=T_{0},\;T(L)=T_{L}.
(b) \;T(x)=T_{0}+\left(\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L\right)x-\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,x^{2}.
(c) \;q_{x}^{\prime\prime}(x)=-k\dfrac{dT}{dx}=-k\left(-\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{k}x+C_{1}\right)=\dot{q}^{\prime\prime\prime}x-kC_{1} com C_{1}=\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}L. Equivalentemente \;q_{x}^{\prime\prime}(x)=-k\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dot{q}^{\prime\prime\prime}\Bigl(x-\dfrac{L}{2}\Bigr).
(d) Esboço: T(x) é uma parábola que passa por (0,T_{0}) e (L,T_{L}); para \dot{q}^{\prime\prime\prime}>0 a concavidade é para baixo (há normalmente um máximo interno); para \dot{q}^{\prime\prime\prime}=0 o perfil é linear.
(e) \;x_{\text{max}}=\dfrac{L}{2}+\dfrac{k}{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}\cdot\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}. \;T_{\text{max}}=T_{0}+\dfrac{k}{2\dot{q}^{\prime\prime\prime}}\Bigl(\dfrac{T_{L}-T_{0}}{L}+\dfrac{\dot{q}^{\prime\prime\prime}}{2k}\,L\Bigr)^{2}.

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