1 - Alguns pesquisadores pensam que a vitamina C pode ser útil para reduzir os depósitos formadores do colesterol situados na parte inferior das paredes arteriais, e, por conseguinte, pensam que a vitamina C concorre também para a redução da possibilidade de ataques cardíacos. O nível de colesterol de cada uma de 36 pessoas com nível de colesterol acima do normal foi anotado antes e após um período de regime de 1 mês, regime este que obrigou cada pessoa a ingerir 500 mg de vitamina C por dia. Os dados obtidos mostraram 64,3 mg por 100 ml para a queda média do nível de colesterol. Suponha conhecido o desvio padrão populacional, igual a 18,9 mg por 100 ml .
a) Estime a queda média do nível de colesterol por pessoa, utilizando um intervalo de 95 % de confiança.
b) Qual o erro associado à estimativa?
c) Qual o tamanho de amostra necessário para reduzirmos o erro para 3 mg por 100 ml ?

Passo 1

O enunciado apresenta uma amostra de n=36 pessoas cujo nível de colesterol foi medido antes e após ingestão diária de 500 mg de vitamina C durante um mês. A queda média observada foi bar x = 64,3 mg/100 ml e o desvio padrão populacional é conhecido, igual a sigma = 18,9 mg/100 ml. O conteúdo aqui é construção de intervalo de confiança para a média quando sigma é conhecido e cálculo de tamanho de amostra para erro máximo desejado.

Passo 2

Como sigma é conhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição normal padrão. Para nível de confiança de 95%, o quantil crítico é
z0,025 = 1,96
O erro máximo (meia-largura) do intervalo é dado por
E = z0,025,sigmaraizn = 1,96 times 18,9raiz36 = 1,96 times 18,96 = 1,96 times 3,15 approx 6,17
Logo o intervalo de confiança de 95% para a queda média é
l[,bar x - E,;bar x + E,r] = l[,64,3 - 6,17,;64,3 + 6,17,r] approx [,58,13,;70,47,];mg/100 ml

Passo 3

O erro associado à estimativa, isto é, a meia-largura do intervalo, ficou
E approx 6,17;mg/100 ml

Passo 4

Para que o erro máximo seja reduzido a 3 mg/100 ml, mantido o nível de confiança de 95%, precisamos de
n = gl(z0,025,sigmaEdesejadogr)^2 = gl(1,96 times 18,93gr)^2 = l(12,348r)^2 approx 152,44
Arredondando para cima (pois n deve ser inteiro), obtemos
n = 153

Resposta

(a) Intervalo de 95%: [58,13,;70,47] mg/100 ml.
(b) Erro associado: E approx 6,17 mg/100 ml.
(c) Tamanho de amostra necessário: n = 153.

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