Em alguns problemas é possível introduzir efeitos dissipativos sem usar a função de Rayleigh. Por exemplo, considere a lagrangeana abaixo.
L=e^gamma t(m dotq^22-k q^22)
(a) Obtenha a EDM desse sistema. Identifique o sistema físico em questão. Resolva a EDM.
(b) Há momentos conservados?
© Ache a função h. Ela é conservada?
(d) Faça a transformação de coordenadas
s=e^gamma t / 2 q
e obtenha uma nova lagrangeana L^prime=L^prime(s, dots ; t). Esse tipo de transformação entre um conjunto de coordenadas generalizas para outro conjunto é chamado de transformação de ponto, e a nova lagrangeana também satisfaz as equações de Lagrange.
(e) Obtenha a EDM para L^prime. Resolva se possível.
(f) Algum momento é conservado?
(g) Obtenha a função h^prime nesse caso. Ela se conserva?

Passo 1

O enunciado apresenta a lagrangeana L=e^gamma tl(tfrac12mdot q^2-tfrac12kq^2r). O conteúdo é dinâmica lagrangiana com dissipação introduzida via fator exponencial. Para resolver vamos usar as equações de Euler–Lagrange, identificar o sistema físico, achar momentos e energia associada, aplicar a transformação de ponto s=e^gamma t/2q e repetir o procedimento.

Passo 2

Derivando as equações de Euler–Lagrange:
ddtl(partial Lpartialdot qr)-partial Lpartial q=0
Temos
partial Lpartialdot q=e^gamma tmdot q, ddt(e^gamma tmdot q)=e^gamma tm(ddot q+gammadot q),
partial Lpartial q=-e^gamma tkq
Logo
e^gamma tm(ddot q+gammadot q)+e^gamma tkq=0 Longrightarrow mddot q+mgammadot q+kq=0
É a equação do oscilador harmônico linear com amortecimento viscoso c=mgamma e frequência natural omega0^2=k/m.

Passo 3

A equação ddot q+gammadot q+(k/m)q=0 tem solução padrão. No regime subamortecido ( gamma^2<4k/m):
q(t)=A,e^-gamma t/2cos(omegad t-de
Analogamente para casos crítico e sobreamortecido.

Passo 4

Não há coordenada cíclica nem independência temporal de q, logo nenhum momento canônico p=partial L/partialdot q é conservado.

Passo 5

A função energia canônica é
h=dot q,p-L=e^gamma tl(tfrac12mdot q^2+tfrac12kq^2r)
Calculando dh/dt com a equação de movimento mostra que dh/dtneq0, ou seja, h não se conserva.

Passo 6

Fazendo a transformação de ponto
s=e^gamma t/2q, dot s=e^gamma t/2(dot q+tfracgamma2q),
substituímos em L e obtemos, até derivada total removível,
L'=tfrac12mdot s^2-tfrac12l(k-tfrac14mgamma^2r)s^2

Passo 7

Para L' as equações de Euler–Lagrange dão
mddot s+(k-tfrac14mgamma^2)s=0,
que é um oscilador harmônico não amortecido com frequência Omega^2=(k/m)-gamma^2/4. A solução é
s(t)=C1cos(Omega t)+C2sin(Omega t)
Então q(t)=e^-gamma t/2s(t).

Passo 8

Em L' não há coordenada cíclica, mas L' não depende explicitamente de t, de modo que a energia canônica
h'=dot s,partial L'partialdot s-L'=tfrac12mdot s^2+tfrac12l(k-tfrac14mgamma^2r)s^2
é conservada ( dh'/dt=0).

Resposta

(a) Equação de Euler–Lagrange: mddot q+mgammadot q+kq=0, é o oscilador harmônico amortecido; solução subamortecida q(t)=Ae^-gamma t/2cos(omegad t-de. (b) Não há momento canônico conservado. © h=e^gamma t(tfrac12mdot q^2+tfrac12kq^2), não se conserva. (d) Com s=e^gamma t/2q obtém-se
L'=tfrac12mdot s^2-tfrac12(k-tfrac14mgamma^2)s^2. (e) EOM: mddot s+(k-tfrac14mgamma^2)s=0, solução s=C1cos(Omega t)+C2sin(Omega t). (f) Não há momento cíclico, mas L' é independente de t. (g) h'=tfrac12mdot s^2+tfrac12(k-tfrac14mgamma^2)s^2 é conservada.

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