Em alguns problemas é possível introduzir efeitos dissipativos sem usar a função de Rayleigh. Por exemplo, considere a lagrangeana abaixo.
(a) Obtenha a EDM desse sistema. Identifique o sistema físico em questão. Resolva a EDM.
(b) Há momentos conservados?
© Ache a função
. Ela é conservada?
(d) Faça a transformação de coordenadas
e obtenha uma nova lagrangeana
. Esse tipo de transformação entre um conjunto de coordenadas generalizas para outro conjunto é chamado de transformação de ponto, e a nova lagrangeana também satisfaz as equações de Lagrange.
(e) Obtenha a EDM para
. Resolva se possível.
(f) Algum momento é conservado?
(g) Obtenha a função
nesse caso. Ela se conserva?
(b) Há momentos conservados?
© Ache a função
(d) Faça a transformação de coordenadas
(e) Obtenha a EDM para
(f) Algum momento é conservado?
(g) Obtenha a função
Passo 1
O enunciado apresenta a lagrangeana
. O conteúdo é dinâmica lagrangiana com dissipação introduzida via fator exponencial. Para resolver vamos usar as equações de Euler–Lagrange, identificar o sistema físico, achar momentos e energia associada, aplicar a transformação de ponto
e repetir o procedimento.
Passo 2
Derivando as equações de Euler–Lagrange:
Temos
Logo
É a equação do oscilador harmônico linear com amortecimento viscoso
e frequência natural
.
Passo 3
A equação
tem solução padrão. No regime subamortecido (
):
Analogamente para casos crítico e sobreamortecido.
Passo 4
Não há coordenada cíclica nem independência temporal de
, logo nenhum momento canônico
é conservado.
Passo 5
A função energia canônica é
Calculando
com a equação de movimento mostra que
, ou seja,
não se conserva.
Passo 6
Fazendo a transformação de ponto
substituímos em
e obtemos, até derivada total removível,
Passo 7
Para
as equações de Euler–Lagrange dão
que é um oscilador harmônico não amortecido com frequência
. A solução é
Então
.
Passo 8
Em
não há coordenada cíclica, mas
não depende explicitamente de
, de modo que a energia canônica
é conservada (
).
Resposta
(a) Equação de Euler–Lagrange:
, é o oscilador harmônico amortecido; solução subamortecida
. (b) Não há momento canônico conservado. ©
, não se conserva. (d) Com
obtém-se
. (e) EOM:
, solução
. (f) Não há momento cíclico, mas
é independente de
. (g)
é conservada.