O potencial eletrostático phi criado por um momento de dipolo elétrico de módulo pe=q d e orientado ao longo do eixo z é dado por:
phi(r, theta, varphi)=pe4 pi varepsilon0 r^2 cos theta
a) Determine o campo eletrostático E=-nabla phi.
b) Encontre a equação das linhas de campo e faça um esboço gráfico.
c) Determine nabla times E.

Passo 1

O enunciado pede para trabalhar com o potencial eletrostático de um dipolo elétrico alinhado ao longo do eixo z, que é dado por
phi(r,theta,varphi)=pe4pivarepsilon0,r^2costheta
Precisamos usar cálculo vetorial em coordenadas esféricas para achar o campo E=-nablaphi, depois traçar as linhas de campo e, por fim, calcular o rotacional de E.

Passo 2

Para determinar E=-nablaphi em coordenadas esféricas, lembramos que
nablaphi=hat er,partialphipartial r+hat etheta,1rpartialphipartialtheta+hat evarphi,1rsinthetapartialphipartialvarphi
Como phi não depende de varphi, só temos componentes em hat er e hat etheta.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
partialphipartial r=pe4pivarepsilon0,partialpartial r(r^-2costheta)=-2pe4pivarepsilon0,r^-3costheta
partialphipartialtheta=pe4pivarepsilon0,r^-2( -sintheta)=-pe4pivarepsilon0,r^-2sintheta
Assim, usando Er=-partialrphi e Etheta=-(1/r)partialthetaphi, obtemos
Er=2pe4pivarepsilon0,costhetar^3,
Etheta=pe4pivarepsilon0,sinthetar^3,
Evarphi=0.

Passo 4

Para as linhas de campo elétrica, lembramos que elas são curvas tangentes ao vetor campo em cada ponto. Logo,
drEr=r,dthetaEtheta
Substituindo as componentes:
dr2costheta=r,dthetasintheta
Separamos variáveis e integramos:
drr=2costhetasinthetadtheta
ln r=2ln(sintheta)+ln CRightarrow r=C,sin^2theta
Esse é o equação das linhas de campo; o esboço mostra as típicas linhas saindo do dipolo positivo (próximo a +z) e entrando no dipolo negativo (próximo a -z).

Passo 5

Como E foi obtido de um potencial escalar bem comportado (fora de r=0), o campo é conservativo e seu rotacional é zero em toda região sem cargas:
nablatimesE=0

Resposta

a) Er=2dfracpe4pivarepsilon0,r^3costheta, Etheta=dfracpe4pivarepsilon0,r^3sintheta, Evarphi=0
b) As linhas de campo satisfazem r=Csin^2theta e têm o formato clássico de dipolo (saindo de +z e entrando em -z).
c) nablatimesE=0 (região sem cargas).

Exercícios relacionados