Alguns problemas são limitados por dois gráficos, além das retas paralelas ao eixo y que interceptam o eixo X nos pontos que correspondem ao intervalo, no qual se deseja calcular a área, como a área limitada por x=0, x=1, y=2 e y=x^{2}.
Resolva o problema de calcular a área limitada pelos valores descritos acima e assinale a alternativa que corresponde à área.
◯ a. 1
◯ b. \frac{4}{3}
◯ C. \frac{1}{3}
◯ d. \frac{5}{3}
◯ e. \frac{2}{3}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada por x=0, x=1, y=2 e y=x^{2}.
Informações dadas:
  • As retas verticais que limitam em x são x=0 e x=1.
  • As curvas que limitam em y são a reta horizontal y=2 e a parábola y=x^{2}.
    Pergunta: qual é a área dessa região? (Depois vou apontar qual alternativa corresponde.)

Passo 2

Entender qual curva está em cima (maior y) e qual está embaixo (menor y) no intervalo x\in[0,1].
Calcule x^{2} nos extremos:
  • Para x=0: x^{2}=0.
  • Para x=1: x^{2}=1.
    A reta y=2 tem valor 2 em todo o intervalo. Como 2>1 e 2>0, a reta y=2 fica acima da parábola y=x^{2} para todo x\in[0,1].
    Logo, para cada x\in[0,1], o “altura” da região é \text{topo} - \text{fundo} = 2 - x^{2}.

Passo 3

Fórmula que vamos usar (área entre duas curvas):
Se uma região é limitada por x=a, x=b, por uma curva superior y=f(x) e por uma curva inferior y=g(x) com f(x)\ge g(x) em [a,b], então a área A é
A=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.
Explicando por que: esse integral soma, ao longo de x, retângulos de base infinitesimal dx e altura f(x)-g(x); o limite desses somatórios dá a área exata.

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso: a=0, b=1, f(x)=2 e g(x)=x^{2}. Portanto
A=\int_{0}^{1}\bigl(2-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Calcular a primitiva (integração indefinida) de 2-x^{2}. Usamos regras básicas:
  • A integral de uma constante c é cx.
  • A regra da potência: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
Aplicando:
\int\bigl(2-x^{2}\bigr)\,dx = \int 2\,dx - \int x^{2}\,dx = 2x - \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 6

Avaliar o integral definido usando a primitiva nos limites 0 e 1:
A=\left[2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \left(2\cdot1-\frac{1^{3}}{3}\right) - \left(2\cdot0-\frac{0^{3}}{3}\right).
Calcule cada termo:
2\cdot1-\frac{1}{3}=2-\frac{1}{3}=\frac{6}{3}-\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.
O outro termo é zero. Portanto a integral vale \frac{5}{3}.

Passo 7

Sanity check e comentário motivador: a área é positiva e um pouco maior que 1 (faz sentido, já que a altura média da região é entre 2 e algo menor, e a base tem comprimento 1). Mandou bem por acompanhar até aqui — essas integrais de área entre curvas caem bastante em prova.

Resposta

d. \dfrac{5}{3}

Exercícios relacionados