Alguns problemas são limitados por dois gráficos, além das retas paralelas ao eixo
que interceptam o eixo
nos pontos que correspondem ao intervalo, no qual se deseja calcular a área, como a área limitada por
e
.
Resolva o problema de calcular a área limitada pelos valores descritos acima e assinale a alternativa que corresponde à área.
◯ a. 1
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
◯ a. 1
◯ b.
◯ C.
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada por
,
,
e
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- As retas verticais que limitam em
são e . - As curvas que limitam em
são a reta horizontal e a parábola .
Pergunta: qual é a área dessa região? (Depois vou apontar qual alternativa corresponde.)
Passo 2
Entender qual curva está em cima (maior
) e qual está embaixo (menor
) no intervalo
.
Calcule nos extremos:
Calcule
- Para
: . - Para
: .
A retatem valor em todo o intervalo. Como e , a reta fica acima da parábola para todo .
Logo, para cada, o “altura” da região é .
Passo 3
Fórmula que vamos usar (área entre duas curvas):
Se uma região é limitada por ,
, por uma curva superior
e por uma curva inferior
com
em
, então a área
é
Se uma região é limitada por
Explicando por que: esse integral soma, ao longo de
, retângulos de base infinitesimal
e altura
; o limite desses somatórios dá a área exata.
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso caso:
,
,
e
. Portanto
Passo 5
Calcular a primitiva (integração indefinida) de
. Usamos regras básicas:
- A integral de uma constante
é . - A regra da potência:
para .
Aplicando:
Passo 6
Avaliar o integral definido usando a primitiva nos limites
e
:
Calcule cada termo:
O outro termo é zero. Portanto a integral vale
.
Passo 7
Sanity check e comentário motivador: a área é positiva e um pouco maior que
(faz sentido, já que a altura média da região é entre
e algo menor, e a base tem comprimento
). Mandou bem por acompanhar até aqui — essas integrais de área entre curvas caem bastante em prova.
Resposta
d.