Uma das aplicações da integral é o cálculo de áreas. Uma representação geométrica da integral diz que se f é uma função que assume valores positivos, então o valor da integral de fé igual ao valor da área compreendida entre a função e o eixo x .
Calcule a área delimitada pelo gráfico da função y=x^{2}-x e pelo eixo x.
◯ C. 1
◯ a. \frac{2}{3}
◯ b. 0
◯ d. \pi
◯ e. \frac{1}{6}

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2}-x e pede para calcular a área delimitada pelo gráfico dessa função e pelo eixo x. Informações importantes que o enunciado fornece:
  • A função é y=x^{2}-x.
  • A "área delimitada pelo gráfico e pelo eixo x" significa a região fechada cuja fronteira é parte do gráfico de y e o próprio eixo x.
    O que devemos encontrar: o valor numérico dessa área.

Passo 2

Entender onde a região fechada está localizada. Primeiro encontramos os pontos em que o gráfico intercepta o eixo x, pois essas interseções delimitam possíveis regiões fechadas. Para isso resolvemos x^{2}-x=0.
x^{2}-x=0 \quad\Rightarrow\quad x(x-1)=0.
As soluções são x=0 e x=1. Portanto o gráfico corta o eixo x nos pontos (0,0) e (1,0).

Passo 3

Determinar o sinal da função entre esses zeros para saber se a curva está acima ou abaixo do eixo x (isso define se a integral direta dá a área ou se precisamos tomar o valor absoluto).
Teste um ponto entre 0 e 1, por exemplo x=\tfrac{1}{2}:
f\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{4}<0.
Como f(x)<0 para 0<x<1, o gráfico está abaixo do eixo x nesse intervalo. A região “delimitada” entre x=0 e x=1 é a única região fechada entre o gráfico e o eixo x (para x<0 e x>1 a função fica acima do eixo e as regiões seriam não limitadas em sentido amplo). Logo a área procurada é a área entre x=0 e x=1.

Passo 4

Lembrando a interpretação geométrica da integral: se uma função f(x) está abaixo do eixo x em um intervalo [a,b], a integral \int_{a}^{b} f(x)\,dx é negativa e o valor da área geométrica é dado por \displaystyle \text{Área}=\int_{a}^{b} |f(x)|\,dx = -\int_{a}^{b} f(x)\,dxÁ.
Aqui a=0, b=1 e f(x)=x^{2}-x. Portanto
\text{Área} = -\int_{0}^{1} \bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Calcular a integral passo a passo. Primeiro ache uma primitiva de x^{2}-x.
\int \bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx - \int x\,dx = \frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2} + C.
Agora avalie no intervalo de 0 a 1:
\int_{0}^{1} \bigl(x^{2}-x\bigr)\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right) = \frac{1}{3}-\frac{1}{2}.
Calcule \tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}:
\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=-\frac{1}{6}.

Passo 6

Como a integral deu -\tfrac{1}{6} e a área é o negativo dessa integral (porque a função está abaixo do eixo no intervalo), temos
\text{Área} = -\left(-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}.Á
Portanto a área delimitada pelo gráfico de y=x^{2}-x e pelo eixo x (a região entre x=0 e x=1) é \dfrac{1}{6}. Força aí — você já conseguiu! 😃

Resposta

\dfrac{1}{6}

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