Uma das aplicações da integral é o cálculo de áreas. Uma representação geométrica da integral diz que se f é uma função que assume valores positivos, então o valor da integral de fé igual ao valor da área compreendida entre a função e o eixo x .
Calcule a área delimitada pelo gráfico da função
e pelo eixo
.
◯ C. 1
◯ a.
◯ b. 0
◯ d.
◯ e.
◯ C. 1
◯ a.
◯ b. 0
◯ d.
◯ e.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular a área delimitada pelo gráfico dessa função e pelo eixo
. Informações importantes que o enunciado fornece:
- A função é
. - A "área delimitada pelo gráfico e pelo eixo
" significa a região fechada cuja fronteira é parte do gráfico de e o próprio eixo .
O que devemos encontrar: o valor numérico dessa área.
Passo 2
Entender onde a região fechada está localizada. Primeiro encontramos os pontos em que o gráfico intercepta o eixo
, pois essas interseções delimitam possíveis regiões fechadas. Para isso resolvemos
.
As soluções são
e
. Portanto o gráfico corta o eixo
nos pontos
e
.
Passo 3
Determinar o sinal da função entre esses zeros para saber se a curva está acima ou abaixo do eixo
(isso define se a integral direta dá a área ou se precisamos tomar o valor absoluto).
Teste um ponto entre
e
, por exemplo
:
Como
para
, o gráfico está abaixo do eixo
nesse intervalo. A região “delimitada” entre
e
é a única região fechada entre o gráfico e o eixo
(para
e
a função fica acima do eixo e as regiões seriam não limitadas em sentido amplo). Logo a área procurada é a área entre
e
.
Passo 4
Lembrando a interpretação geométrica da integral: se uma função
está abaixo do eixo
em um intervalo
, a integral
é negativa e o valor da área geométrica é dado por
.
Aqui
,
e
. Portanto
Passo 5
Calcular a integral passo a passo. Primeiro ache uma primitiva de
.
Agora avalie no intervalo de
a
:
Calcule
:
Passo 6
Como a integral deu
e a área é o negativo dessa integral (porque a função está abaixo do eixo no intervalo), temos
Portanto a área delimitada pelo gráfico de
e pelo eixo
(a região entre
e
) é
. Força aí — você já conseguiu! 😃