Resolva as seguintes equações diferenciais
(e)
(equação de Bernoulli)
(e)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral (resolver a equação). As informações relevantes são:
- A equação envolve
, e . - É uma equação de primeira ordem; o enunciado indica que é uma equação do tipo Bernoulli (isto será usado).
- Deve-se obter a solução geral implicando uma constante arbitrária
.
Passo 2
Primeiro reorganizo a equação de modo a considerar
como função de
. Isso é útil porque a equação contém termos mistos
e
que tornam difícil aplicar a forma usual de Bernoulli para
, mas ao inverter a variável independente obtemos uma equação na forma clássica de Bernoulli para
.
Começo isolando
. Lembro que
e portanto
, mas é mais direto reescrever a equação original dividindo ambos os lados por
e por
de forma a obter
explicitamente. Assim:
Invertendo (tratando
como função de
):
Passo 3
Agora escrevo essa equação na forma padrão de Bernoulli para
. A forma geral de Bernoulli é
Comparando com a equação obtida:
identifico
,
,
,
e
.
A técnica padrão para Bernoulli com expoente
é fazer a substituição
Aqui
, então escolho
Vou explicar cada passo dessa substituição: ao definir
transformo a equação não-linear em uma equação linear em
. Em prova essa é a manobra clássica — transformar um Bernoulli em uma linear usando
.
Passo 4
Calculo a derivada de
em relação a
. Como
,
Agora substituo
da equação de Passo 2:
Substituindo na expressão de
:
Lembrando que
, tenho
. Logo:
Reorganizando em forma linear padrão:
Portanto a substituição converteu a equação de Bernoulli num problema linear de primeira ordem para
.
Passo 5
Resolvo a equação linear
Explico a técnica do fator integrante: para uma equação linear
o fator integrante é
pois multiplicando a equação por
a esquerda torna-se
.
Aqui
. Então calculo o fator integrante:
Calculo a integral:
Logo
Passo 6
Multiplico a equação linear por
. Assim:
Pelo propósito do fator integrante a esquerda é a derivada de
:
Passo 7
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Substituo
para voltar a
:
Posso reescrever isolando
:
Observação didática: a integral
não é expressável em funções elementares simples — ela conduz a funções especiais (ou pode ser deixada como integral indefinida). Em provas é aceitável deixar a solução na forma implicita com essa integral, ou mencionar que a primitiva pode ser escrita usando funções especiais. O importante aqui é ter seguido corretamente o procedimento de Bernoulli, efetuado a substituição e reduzido o problema a uma integral.
Passo 8
Finalmente escrevo a solução geral de forma limpa (forma implícita). Voltando a
, a solução geral é
onde
é constante arbitrária. Se for desejável explicitá-la:
Dica final de prova: se o enunciado pede apenas o procedimento e a forma geral, deixar a solução em termos da integral é totalmente aceitável. Se pedir expressão explícita usando funções especiais, a integral pode ser escrita em termos de funções relacionadas à integral incompleta envolvendo
, mas isso foge ao cálculo elementar.