Resolva as seguintes equações diferenciais
(e) \left(x^{2}-x y\right) y^{\prime}=y^{4} (equação de Bernoulli)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(x^{2}-x y\right) y' = y^{4}
e pede para encontrar a solução geral (resolver a equação). As informações relevantes são:
  • A equação envolve x, y e y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • É uma equação de primeira ordem; o enunciado indica que é uma equação do tipo Bernoulli (isto será usado).
  • Deve-se obter a solução geral implicando uma constante arbitrária C.

Passo 2

Primeiro reorganizo a equação de modo a considerar x como função de y. Isso é útil porque a equação contém termos mistos x e y que tornam difícil aplicar a forma usual de Bernoulli para y(x), mas ao inverter a variável independente obtemos uma equação na forma clássica de Bernoulli para x(y).
Começo isolando \dfrac{dx}{dy}. Lembro que y'=\dfrac{dy}{dx} e portanto \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}, mas é mais direto reescrever a equação original dividindo ambos os lados por y' e por y^{4} de forma a obter \dfrac{dx}{dy} explicitamente. Assim:
(x^{2}-x y)\,y' = y^{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx} = \frac{y^{4}}{x^{2}-x y}.
Invertendo (tratando x como função de y):
\frac{dx}{dy} = \frac{x^{2}-x y}{y^{4}} = \frac{x^{2}}{y^{4}} - \frac{x}{y^{3}}.

Passo 3

Agora escrevo essa equação na forma padrão de Bernoulli para x(y). A forma geral de Bernoulli é
\frac{du}{dt} + P(t)\,u = Q(t)\,u^{n}.
Comparando com a equação obtida:
\frac{dx}{dy} + \frac{1}{y^{3}}\,x = \frac{1}{y^{4}}\,x^{2},
identifico u\leftrightarrow x, t\leftrightarrow y, P(y)=\dfrac{1}{y^{3}}, Q(y)=\dfrac{1}{y^{4}} e n=2.
A técnica padrão para Bernoulli com expoente n\neq 0,1 é fazer a substituição
u = x^{1-n}.
Aqui n=2, então escolho
u = x^{1-2} = x^{-1}=\frac{1}{x}.
Vou explicar cada passo dessa substituição: ao definir u=\dfrac{1}{x} transformo a equação não-linear em uma equação linear em u. Em prova essa é a manobra clássica — transformar um Bernoulli em uma linear usando u=x^{1-n}.

Passo 4

Calculo a derivada de u em relação a y. Como u=x^{-1},
\frac{du}{dy} = -x^{-2}\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{x^{2}}\frac{dx}{dy}.
Agora substituo \dfrac{dx}{dy} da equação de Passo 2:
\frac{dx}{dy} = \frac{x^{2}}{y^{4}} - \frac{x}{y^{3}}.
Substituindo na expressão de \dfrac{du}{dy}:
\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{x^{2}}{y^{4}} - \frac{x}{y^{3}}\right) = -\frac{1}{y^{4}} + \frac{1}{x\,y^{3}}.
Lembrando que u=\dfrac{1}{x}, tenho \dfrac{1}{x}=u. Logo:
\frac{du}{dy} = -\frac{1}{y^{4}} + \frac{u}{y^{3}}.
Reorganizando em forma linear padrão:
\frac{du}{dy} - \frac{1}{y^{3}}\,u = -\frac{1}{y^{4}}.
Portanto a substituição converteu a equação de Bernoulli num problema linear de primeira ordem para u(y).

Passo 5

Resolvo a equação linear
\frac{du}{dy} - \frac{1}{y^{3}}\,u = -\frac{1}{y^{4}}.
Explico a técnica do fator integrante: para uma equação linear \dfrac{du}{dy}+P(y)u=R(y) o fator integrante é
\mu(y)=\exp\!\left(\int P(y)\,dy\right),
pois multiplicando a equação por \mu a esquerda torna-se \dfrac{d}{dy}(\mu u).
Aqui P(y)=-\dfrac{1}{y^{3}}. Então calculo o fator integrante:
\mu(y)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{y^{3}}\,dy\right).
Calculo a integral:
\int -\frac{1}{y^{3}}\,dy = \int -y^{-3}\,dy = \frac{1}{2y^{2}}.
Logo
\mu(y)=\exp\!\left(\frac{1}{2y^{2}}\right).

Passo 6

Multiplico a equação linear por \mu(y). Assim:
\exp\!\left(\frac{1}{2y^{2}}\right)\left(\frac{du}{dy} - \frac{1}{y^{3}}u\right) = -\exp\!\left(\frac{1}{2y^{2}}\right)\frac{1}{y^{4}}.
Pelo propósito do fator integrante a esquerda é a derivada de \mu u:
\frac{d}{dy}\!\left( e^{\frac{1}{2y^{2}}}\,u \right) = - e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}.

Passo 7

Integro ambos os lados em relação a y:
e^{\frac{1}{2y^{2}}}\,u = -\int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy + C,
onde C é a constante de integração. Substituo u=\dfrac{1}{x} para voltar a x:
e^{\frac{1}{2y^{2}}}\,\frac{1}{x} = -\int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy + C.
Posso reescrever isolando \dfrac{1}{x}:
\frac{1}{x} = e^{-\frac{1}{2y^{2}}}\left( C - \int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy \right).
Observação didática: a integral \displaystyle\int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy não é expressável em funções elementares simples — ela conduz a funções especiais (ou pode ser deixada como integral indefinida). Em provas é aceitável deixar a solução na forma implicita com essa integral, ou mencionar que a primitiva pode ser escrita usando funções especiais. O importante aqui é ter seguido corretamente o procedimento de Bernoulli, efetuado a substituição e reduzido o problema a uma integral.

Passo 8

Finalmente escrevo a solução geral de forma limpa (forma implícita). Voltando a x, a solução geral é
\frac{1}{x} = e^{-\frac{1}{2y^{2}}}\left( C - \int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy \right),
onde C é constante arbitrária. Se for desejável explicitá-la:
x(y)=\frac{1}{\,e^{-\frac{1}{2y^{2}}}\left( C - \displaystyle\int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy \right)\, }.
Dica final de prova: se o enunciado pede apenas o procedimento e a forma geral, deixar a solução em termos da integral é totalmente aceitável. Se pedir expressão explícita usando funções especiais, a integral pode ser escrita em termos de funções relacionadas à integral incompleta envolvendo e^{t} t^{1/2}, mas isso foge ao cálculo elementar.

Resposta

\frac{1}{x}=e^{-\frac{1}{2y^{2}}}\left(C-\int e^{\frac{1}{2y^{2}}}\frac{1}{y^{4}}\,dy\right)

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