Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia,
toneladas do aço tipo Xis e
toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação
, chamada de curva de transformação do produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor
e
. Com base nessas informações, determine se a afirmativa é verdadeira:
A produção máxima de aço tipo Ypsilon, por dia, é de apenas 2 toneladas.
A produção máxima de aço tipo Ypsilon, por dia, é de apenas 2 toneladas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma companhia siderúrgica que produz dois tipos de aço: o tipo Xis (x) e o tipo Ypsilon (y). A relação entre essas quantidades é dada pela equação
. A gente precisa descobrir se é verdade que a produção máxima diária de aço Ypsilon é apenas 2 toneladas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para encontrar o valor máximo de
que satisfaz a equação, garantindo que tanto
quanto
sejam maiores ou iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação para
em termos de
. A ideia é isolar
para ver quais valores de
são possíveis sem que
fique negativo. Começamos com a equação:
Vamos isolar
:
Passo 3
Como
precisa ser maior ou igual a zero (
), vamos garantir que a expressão acima seja não negativa:
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é positivo, então a desigualdade permanece a mesma):
Agora, vamos simplificar dividindo tudo por -3. Lembre-se que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte:
Passo 4
Agora, precisamos resolver a inequação quadrática
. Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
:
Isso nos dá duas soluções:
Como
precisa ser maior ou igual a zero, descartamos
. Portanto, a inequação
é válida para valores de
entre
e
. Mas como
, o intervalo válido é:
Resposta
Sim, a produção máxima diária de aço tipo Ypsilon é de apenas 2 toneladas.