Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação 2x+3y^2+9y-30=0, chamada de curva de transformação do produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x >= 0 e y >= 0. Com base nessas informações, determine se a afirmativa é verdadeira:
A produção máxima de aço tipo Ypsilon, por dia, é de apenas 2 toneladas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma companhia siderúrgica que produz dois tipos de aço: o tipo Xis (x) e o tipo Ypsilon (y). A relação entre essas quantidades é dada pela equação 2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0. A gente precisa descobrir se é verdade que a produção máxima diária de aço Ypsilon é apenas 2 toneladas. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para encontrar o valor máximo de y que satisfaz a equação, garantindo que tanto x quanto y sejam maiores ou iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação para x em termos de y. A ideia é isolar x para ver quais valores de y são possíveis sem que x fique negativo. Começamos com a equação:
2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0
Vamos isolar x:
2x = -3y^2 - 9y + 30
x = -3y^2 - 9y + 302

Passo 3

Como x precisa ser maior ou igual a zero ( x >= 0), vamos garantir que a expressão acima seja não negativa:
-3y^2 - 9y + 302 >= 0
Multiplicando ambos os lados por 2 (que é positivo, então a desigualdade permanece a mesma):
-3y^2 - 9y + 30 >= 0
Agora, vamos simplificar dividindo tudo por -3. Lembre-se que ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número negativo, o sinal da desigualdade inverte:
y^2 + 3y - 10 <= 0

Passo 4

Agora, precisamos resolver a inequação quadrática y^2 + 3y - 10 <= 0. Primeiro, vamos encontrar as raízes da equação y^2 + 3y - 10 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
y = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = 3 e c = -10:
y = -3 pm raiz9 + 402
y = -3 pm raiz492
y = -3 pm 72
Isso nos dá duas soluções:
y = -3 + 72 = 2
y = -3 - 72 = -5
Como y precisa ser maior ou igual a zero, descartamos y = -5. Portanto, a inequação y^2 + 3y - 10 <= 0 é válida para valores de y entre -5 e 2. Mas como y >= 0, o intervalo válido é:
0 <= y <= 2

Resposta

Sim, a produção máxima diária de aço tipo Ypsilon é de apenas 2 toneladas.

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