Alguns processos de produção permitem obter mais de um produto a partir dos mesmos recursos, por exemplo, variação da quantidade de níquel no processo de produção do aço fornece ligas com diferentes graus de resistência. Uma companhia siderúrgica pode produzir, por dia, x toneladas do aço tipo Xis e y toneladas do aço tipo Ypsilon utilizando o mesmo processo de produção. A equação 2x+3y^2+9y-30=0, chamada de curva de transformação do produto, estabelece a relação de dependência entre essas duas quantidades. Obviamente deve-se supor x >= 0 e y >= 0. Com base nessas informações, determine se a afirmativa é verdadeira:
É possível produzir até 20 toneladas do aço tipo Xis por dia.

Passo 1

O enunciado descreve um processo de produção em que as quantidades x (toneladas de aço tipo Xis) e y (toneladas de aço tipo Ypsilon) satisfazem a curva de transformação 2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0, com as restrições x>=0 e y>=0. Queremos verificar se é possível ter x = 20.

Passo 2

Reescrevemos a curva em função de x. Da equação 2x + 3y^2 + 9y - 30 = 0 temos:
x = 30 - 3y^2 - 9y2

Passo 3

Para que x>=0, o numerador deve satisfazer
30 - 3y^2 - 9y >= 0 iff -3(y^2 + 3y - 10) >= 0 iff y^2 + 3y - 10 <= 0

Passo 4

O polinômio y^2 + 3y - 10 tem discriminante De, e raízes
y = -3 pm raiz492 = -5,;2
Como a parábola abre para cima, a inequação y^2 + 3y - 10 <= 0 vale para yin[-5,2]. Considerando y>=0, o domínio viável é yin[0,2].

Passo 5

Definimos a função de produção de Xis
x(y) = 30 - 3y^2 - 9y2,e procuramos seu valor máximo em [0,2]. Como o coeficiente de y^2 em x(y) é negativo, a função é côncava para baixo e atinge o máximo nas extremidades:

Passo 6

Para y=0:
x(0) = 30 - 0 - 02 = 15
Para y=2:
x(2) = 30 - 12 - 182 = 0

Passo 7

Portanto, o valor máximo de x na curva é 15 toneladas.

Resposta

A afirmativa é falsa. O máximo de produção de Xis é 15 toneladas por dia, portanto não é possível chegar a 20 toneladas.

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