1. integral triplaE e^x d V, onde E=(x, y, z) mid 0 <= y <= 1,0 <= x <= y, 0 <= z <= x+y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla integral triplaE e^x,dV, onde
E=(x,y,z)mid 0<= y<=1,;0<= x<= y,;0<= z<= x+y
Isso cai em integração iterada (teorema de Fubini) e precisaremos usar integração em partes para a parte que envolver x e^x.

Passo 2

Primeiro, integramos em z, já que o integrando não depende de z. Assim,
integral triplaE e^x,dV =integraly=0^1integralx=0^yintegralz=0^x+y e^x,dz,dx,dy =integraly=0^1integralx=0^y e^xl[x+yr] ,dx,dy

Passo 3

Agora montamos a integral em x:
I(y)=integral0^ye^x,(x+y),dx =integral0^yx e^x,dx;+ ;yintegral0^ye^x,dx
Para integral x e^x,dx usamos integração por partes, e para integral e^x,dx aplicamos a primitiva direta.

Passo 4

Calculando separadamente:
Para A=integral0^y x e^x,dx, tomamos
u=x, dv=e^x dx du=dx, v=e^x. Logo
A=[x e^x]0^y-integral0^y e^x,dx =y e^y-(e^y-1)=(y-1)e^y+1
E para B=integral0^y e^x,dx=e^y-1 Então
I(y)=(y-1)e^y+1+y(e^y-1)=(2y-1)e^y+1-y

Passo 5

Agora falta integrar em y:
integral0^1I(y),dy =integral0^1l[(2y-1)e^y+1-yr]dy =integral0^1(2y-1)e^y,dy+integral0^1(1-y),dy
A segunda parte é simples:
integral0^1(1-y)dy=l[y-tfracy^22r]0^1=tfrac12

Passo 6

Para integral0^1(2y-1)e^y dy, separamos:
2integral0^1y e^y dy-integral0^1e^y dy
Já sabemos que integral y e^y dy=y e^y-e^y. Então
2[y e^y-e^y]-e^y|0^1 =[2e-2e -e] - [0-2+ -1]
Calculando cuidadosamente obtenho
3-e.
Somando com 1/2, o resultado final é
tfrac72-e.

Resposta

tfrac72-e

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