Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
y^prime=3 x^23 y^2-4, y(1)=0
e determine o intervalo de validade da solução.
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.

Passo 1

Neste exercício vamos resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e precisaremos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução analítica.

Passo 2

Separamos as variáveis na forma
y' = 3x^23y^2 - 4
o que dá
(3y^2 - 4),dy = 3x^2,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral (3y^2 - 4),dy = integral 3x^2,dx
Calculando as integrais:
integral 3y^2,dy = y^3, integral -4,dy = -4y, integral 3x^2,dx = x^3

Passo 4

Ao integrar obtemos a relação implícita da família de soluções:
y^3 - 4y = x^3 + C

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0^3 - 4cdot0 = 1^3 + C Longrightarrow C = -1

Passo 6

Assim a solução implícita do problema de valor inicial é
y^3 - 4y = x^3 - 1

Passo 7

Para achar o intervalo de validade, buscamos onde a tangente fica vertical, isto é, onde o denominador 3y^2 -4 se anula. Isso ocorre em
y = pm 2raiz3

Passo 8

Substituindo cada valor de y na solução implícita para obter o correspondente x:
Para y = tfrac2raiz3:
l(tfrac2raiz3r)^3 - 4cdottfrac2raiz3 = x^3 -1 Longrightarrow x^3 = 1 - 163raiz3 approx -2.079
Logo x approx -1.277.
Para y = -tfrac2raiz3:
l(-tfrac2raiz3r)^3 - 4cdotl(-tfrac2raiz3r) = x^3 -1 Longrightarrow x^3 = 1 + 163raiz3 approx 4.079
Logo x approx 1.606.

Passo 9

Como o ponto inicial (1,0) está entre esses valores de x, o intervalo máximo de validade da solução é
(-1.277,,1.606)

Resposta

A solução implícita é
y^3 - 4y = x^3 - 1
e o intervalo de validade, determinado pelos pontos de tangente vertical, é aproximadamente
x in (-1.277,;1.606)

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