Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Resolva o problema de valor inicial
e determine o intervalo de validade da solução.
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.
Resolva o problema de valor inicial
Sugestão: para encontrar o intervalo de validade, procure pontos nos quais a curva integral tem uma tangente vertical.
Passo 1
Neste exercício vamos resolver o problema de valor inicial
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e precisaremos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução analítica.
O conteúdo é equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e precisaremos usar o método de separação de variáveis para encontrar a solução analítica.
Passo 2
Separamos as variáveis na forma
o que dá
Passo 3
Integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 4
Ao integrar obtemos a relação implícita da família de soluções:
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
:
Passo 6
Assim a solução implícita do problema de valor inicial é
Passo 7
Para achar o intervalo de validade, buscamos onde a tangente fica vertical, isto é, onde o denominador
se anula. Isso ocorre em
Passo 8
Substituindo cada valor de
na solução implícita para obter o correspondente
:
Para :
Para
Logo
.
Para :
Para
Logo
.
Passo 9
Como o ponto inicial
está entre esses valores de
, o intervalo máximo de validade da solução é
Resposta
A solução implícita é
e o intervalo de validade, determinado pelos pontos de tangente vertical, é aproximadamente