Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado:
Passo 1
Vamos entender a questão: precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1 $ no intervalo $ [2, 3] $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre encontrar extremos de funções em intervalos fechados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $ para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada de $ f(x) $ é:
Passo 3
Vamos resolver a equação $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos:
Dividindo todos os termos por 6:
Resolvendo a equação quadrática:
Então, $ x = 2 $ ou $ x = -1 $.
Passo 4
Agora, verificamos quais desses valores estão no intervalo $ [2, 3] $. O valor $ x = 2 $ está no intervalo, enquanto $ x = -1 $ não está. Portanto, o único ponto crítico no intervalo é $ x = 2 $.
Passo 5
Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos, devemos avaliar a função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nas extremidades do intervalo.
Os pontos a avaliar são:
- $ x = 2 $
- $ x = 3 $
Passo 6
Calculamos $ f(2) $:
Calculamos $ f(3) $:
Resposta
No intervalo $ [2, 3] $, o valor mínimo absoluto de $ f $ é $ -19 $ em $ x = 2 $ e o valor máximo absoluto é $ -8 $ em $ x = 3 $.