Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado:
f(x)=2 x^3-3 x^2-12 x+1, x inlceil 2,3]

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = 2x^{3} - 3x^{2} - 12x + 1 $ no intervalo $ [2, 3] $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre encontrar extremos de funções em intervalos fechados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função $ f(x) $ para encontrar os pontos críticos, onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são candidatos a máximos ou mínimos locais.
A derivada de $ f(x) $ é:
f(x)

Passo 3

Vamos resolver a equação $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos:
f'(x) = 0
Dividindo todos os termos por 6:
6x^2 - 6x - 12 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x^2 - x - 2 = 0
Então, $ x = 2 $ ou $ x = -1 $.

Passo 4

Agora, verificamos quais desses valores estão no intervalo $ [2, 3] $. O valor $ x = 2 $ está no intervalo, enquanto $ x = -1 $ não está. Portanto, o único ponto crítico no intervalo é $ x = 2 $.

Passo 5

Para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos, devemos avaliar a função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nas extremidades do intervalo.
Os pontos a avaliar são:
  • $ x = 2 $
  • $ x = 3 $

Passo 6

Calculamos $ f(2) $:
f(2)
Calculamos $ f(3) $:
f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 16 - 12 - 24 + 1 = -19

Resposta

No intervalo $ [2, 3] $, o valor mínimo absoluto de $ f $ é $ -19 $ em $ x = 2 $ e o valor máximo absoluto é $ -8 $ em $ x = 3 $.

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