Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla:
integral tripla(x^2+y^2) d V
onde E é a região contida dentro do cilindro x^2+y^2=16 e entre os planos z=-2 e z=3

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral tripla integral triplaE (x^2+y^2),dV sobre o cilindro x^2+y^2=16 entre z=-2 e z=3. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, que é ideal quando a região tem simetria radial.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições x=rcostheta, y=rsintheta e x^2+y^2=r^2. O elemento de volume vira dV=r,dr,dtheta,dz.

Passo 3

Precisamos agora montar a integral com os limites: r varia de 0 a 4 (pois o cilindro tem raio 4), theta de 0 a 2pi e z de -2 a 3. Assim
[\displaystyle\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{4}\int_{z=-2}{3}r2;r,dz,dr,d\theta]

Passo 4

Começamos integrando em z, que não depende de r nem de theta. Temos
[\displaystyle\int_{-2}^{3}dz=5]
e a integral vira
[\displaystyle5\int_{0}{2\pi}!d\theta\int_{0}{4}r^3,dr]

Passo 5

Agora integramos em r usando integral0^4r^3,dr=4^44=64, e depois em theta:
[\displaystyle5\cdot64\int_{0}^{2\pi}d\theta=5\cdot64\cdot2\pi]

Resposta

640\pi

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