Utilize coordenadas cilíndricas para calcular a integral tripla:
onde E é a região contida dentro do cilindro
e entre os planos
e
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral tripla
sobre o cilindro
entre
e
. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, que é ideal quando a região tem simetria radial.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas fazemos as substituições
,
e
. O elemento de volume vira
.
Passo 3
Precisamos agora montar a integral com os limites:
varia de 0 a 4 (pois o cilindro tem raio 4),
de 0 a
e
de -2 a 3. Assim
[\displaystyle\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{4}\int_{z=-2}{3}r2;r,dz,dr,d\theta]
[\displaystyle\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{4}\int_{z=-2}{3}r2;r,dz,dr,d\theta]
Passo 4
Começamos integrando em
, que não depende de
nem de
. Temos
[\displaystyle\int_{-2}^{3}dz=5]
e a integral vira
[\displaystyle5\int_{0}{2\pi}!d\theta\int_{0}{4}r^3,dr]
[\displaystyle\int_{-2}^{3}dz=5]
e a integral vira
[\displaystyle5\int_{0}{2\pi}!d\theta\int_{0}{4}r^3,dr]
Passo 5
Agora integramos em
usando
, e depois em
:
[\displaystyle5\cdot64\int_{0}^{2\pi}d\theta=5\cdot64\cdot2\pi]
[\displaystyle5\cdot64\int_{0}^{2\pi}d\theta=5\cdot64\cdot2\pi]
Resposta
640\pi