Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Considere o problema de valor inicial
y^prime=t y(4-y)3, y(0)=y0
a. Determine o comportamento da solução em função do valor inicial y0 quando t aumenta.

Passo 1

O enunciado pede para estudar o comportamento, para t→∞, da solução do problema de valor inicial y'=tfract,y(4-y)3,;y(0)=y0. O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e análise de equilíbrios.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
dyy(4-y)=t3,dt
Observamos que
1y(4-y)=14l(1y+14-yr)
e então integramos dos dois lados.

Passo 3

Ao integrar obtemos
14l(ln|y| - ln|4-y|r)=t^26+C
que simplifica para
lny4-y=2t^23+C'

Passo 4

Exponenciando, definindo K=e^C'=tfracy04-y0, vem
y4-y=K,e^2t^2/3
isto é,
y(t)=4;K,e^2t^2/31+K,e^2t^2/3

Passo 5

Para entender o comportamento quando ttoinfty, analisamos o sinal e o valor de K=y04-y0. Isso mostra que existem equilíbrios em y=0 e y=4, e que dependendo de y0 a fração no expoente pode explodir ou tender a um valor finito. Em seguida classificamos os casos.

Resposta

Para t→∞ temos os seguintes cenários em função de y0:
– Se y0=0, então y(t)equiv0.
– Se y0=4, então y(t)equiv4.
– Se 0, então K>0 e y(t) cresce monotonamente, aproximando-se de 4 quando ttoinfty.
– Se y0<0 ou y0>4, então K<0 e existe um tempo finito t^* em que o denominador 1+K e^2t^2/3 zera, causando explosão (|y|→∞) antes desse tempo.

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