Alguns dos resultados pedidos nos Problemas 17 a 22 podem ser obtidos resolvendo-se a equação dada analiticamente ou gerando-se gráficos de aproximações numéricas das soluções. Tente formar uma opinião sobre as vantagens e desvantagens de cada abordagem.
Considere o problema de valor inicial
a. Determine o comportamento da solução em função do valor inicial
quando
aumenta.
Considere o problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para estudar o comportamento, para t→∞, da solução do problema de valor inicial
. O conteúdo aqui é EDO de variáveis separáveis, e vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e análise de equilíbrios.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
Observamos que
e então integramos dos dois lados.
Passo 3
Ao integrar obtemos
que simplifica para
Passo 4
Exponenciando, definindo
, vem
isto é,
Passo 5
Para entender o comportamento quando
, analisamos o sinal e o valor de
. Isso mostra que existem equilíbrios em
e
, e que dependendo de
a fração no expoente pode explodir ou tender a um valor finito. Em seguida classificamos os casos.
Resposta
Para t→∞ temos os seguintes cenários em função de
:
– Se
, então
.
– Se
, então
.
– Se
, então
e
cresce monotonamente, aproximando-se de 4 quando
.
– Se
ou
, então
e existe um tempo finito
em que o denominador
zera, causando explosão (|y|→∞) antes desse tempo.