Calcule a massa de um sólido E com densidade de, onde E é a região limitada pelo cilindro x^2+y^2=4 e os planos z=0 e z=5

Passo 1

A questão pede para calcular a massa de um sólido E cuja densidade é de. O sólido E é limitado pelo cilindro x^2+y^2=4 e pelos planos z=0 e z=5. Estamos no capítulo de integrais triplas e vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo.

Passo 2

A massa M do sólido é dada pela integral tripla de densidade sobre o volume E, ou seja:
M=integral triplaEde

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas fazemos x=rcostheta, y=rsintheta e dV=r,dr,dtheta,dz. Como x^2+y^2=r^2, a densidade vira r^2 e o integrando fica r^2cdot r=r^3. Os limites são: r de 0 a 2, theta de 0 a 2pi e z de 0 a 5.

Passo 4

Agora separamos a integral em três partes e calculamos uma a uma:
$$M=\int_{\theta=0}{2\pi}\int_{r=0}{2}\int_{z=0}{5}r3,dz,dr,d\theta.
$$

Passo 5

Primeiro integralz=0^5dz=5. Depois integralr=0^2r^3,dr=r^44|0^2=4. E por fim integral0^2pidtheta=2pi. Multiplicando tudo: M=5times4times2pi=40pi.

Resposta

40pi

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