Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de y=x^2, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo y ), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto (k, k^2), serão refletidos na direção da reta 4 k y+(1-4 k^2) x=k
Sendo assim, calcule as coordenadas (a, b) ponto em que os raios de luz verticais refletidos em (1,1) e (2,4) se encontrarão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como os telescópios usam espelhos parabólicos para focar a luz em um ponto específico chamado foco. O gráfico da parábola é dado por $ y = x^{2} $. Precisamos calcular as coordenadas y = x^2 onde os raios de luz refletidos nos pontos (a, b) e (1, 1) se encontram. Para isso, vamos usar a lei de reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, e aplicar algumas equações de reta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a equação das retas refletidas nos pontos (1, 1) e (2, 4). Segundo o enunciado, a reta refletida em um ponto (k, k^2) é dada por:
4ky + (1 - 4k^2)x = k
Vamos usar essa fórmula para encontrar as equações das retas refletidas nos pontos (1, 1) e (2, 4).

Passo 3

Para o ponto (1, 1), temos k = 1. Substituindo na equação:
4(1)y + (1 - 4(1)^2)x = 1 4y + (1 - 4)x = 1 4y - 3x = 1
Essa é a equação da reta refletida no ponto (1, 1).

Passo 4

Agora, para o ponto (2, 4), temos k = 2. Substituindo na equação:
4(2)y + (1 - 4(2)^2)x = 2 8y + (1 - 16)x = 2 8y - 15x = 2
Essa é a equação da reta refletida no ponto (2, 4).

Passo 5

Temos agora duas equações de retas:
4y - 3x = 1 (1) 8y - 15x = 2 (2)
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas (a, b) onde as duas retas se encontram.

Passo 6

Podemos resolver o sistema pelo método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação:
2 times (4y - 3x) = 2 times 1 8y - 6x = 2 (1a)
Agora, temos:
8y - 6x = 2 (1a) 8y - 15x = 2 (2)
Subtraindo a equação (1a) da equação (2):
(8y - 15x) - (8y - 6x) = 2 - 2 -15x + 6x = 0 -9x = 0 x = 0

Passo 7

Agora que encontramos x = 0, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar y. Vamos usar a equação (1):
4y - 3(0) = 1 4y = 1 y = 14

Resposta

As coordenadas onde os raios de luz refletidos nos pontos (1, 1) e (2, 4) se encontram são (0, 14).

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