Alguns telescópios usam espelhos parabólicos, pois essa forma geométrica reflete a luz que entra para um único ponto, chamado foco. O gráfico de
, por exemplo, tem a forma de uma parábola. A luz que vem verticalmente, de cima para baixo (paralelamente ao eixo
), encontra a parábola e é refletida segundo a lei de que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão. Essa lei implica que os raios de luz verticais, encontrando a parábola no ponto
, serão refletidos na direção da reta
Sendo assim, calcule as coordenadas
ponto em que os raios de luz verticais refletidos em
e
se encontrarão.
Sendo assim, calcule as coordenadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre como os telescópios usam espelhos parabólicos para focar a luz em um ponto específico chamado foco. O gráfico da parábola é dado por $ y = x^{2} $. Precisamos calcular as coordenadas
onde os raios de luz refletidos nos pontos
e
se encontram. Para isso, vamos usar a lei de reflexão, que diz que o ângulo de incidência é igual ao ângulo de reflexão, e aplicar algumas equações de reta.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a equação das retas refletidas nos pontos
e
. Segundo o enunciado, a reta refletida em um ponto
é dada por:
Vamos usar essa fórmula para encontrar as equações das retas refletidas nos pontos
e
.
Passo 3
Para o ponto
, temos
. Substituindo na equação:
Essa é a equação da reta refletida no ponto
.
Passo 4
Agora, para o ponto
, temos
. Substituindo na equação:
Essa é a equação da reta refletida no ponto
.
Passo 5
Temos agora duas equações de retas:
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar as coordenadas
onde as duas retas se encontram.
Passo 6
Podemos resolver o sistema pelo método da substituição ou da eliminação. Vamos usar a eliminação.
Primeiro, vamos multiplicar a equação (1) por 2 para facilitar a eliminação:
Agora, temos:
Subtraindo a equação (1a) da equação (2):
Passo 7
Agora que encontramos
, vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a equação (1):
Resposta
As coordenadas onde os raios de luz refletidos nos pontos
e
se encontram são
.