Sejam as matrizes
e
Se
, sendo
a matriz transposta de
, então
é igual a:
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem duas matrizes, $ M $ e $ P $, e sabemos que $ M \cdot M^{t} = P $, onde $ M^{t} $ é a transposta de $ M $. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ n^{2} + n \cdot q $. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como trabalhar com matrizes transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a transposta de $ M $, que é simplesmente trocar as linhas pelas colunas da matriz original. A matriz $ M $ é:
Então, a transposta $ M^{t} $ fica:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar $ M $ por $ M^{t} $. A multiplicação de matrizes funciona assim: para cada elemento da matriz resultante, a gente multiplica os elementos das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e soma tudo. Então,
Simplificando cada elemento:
Passo 4
Sabemos que $ M \cdot M^{t} = P $, onde $ P $ é:
Então, igualando as matrizes correspondentes:
- $ 3 + q^{2} = 6 $
- $ \sqrt{3}n + q\sqrt{3} = 6 $
- $ n\sqrt{3} + q\sqrt{3} = 6 $ (que é igual à segunda equação)
- $ n^{2} + 3 = 6 $
Passo 5
Vamos resolver as equações:
Da primeira equação:
Da quarta equação:
Passo 6
Vamos usar a segunda equação para relacionar $ n $ e $ q $:
Sabemos que $ n = \sqrt{3} $ ou $ n = -\sqrt{3} $ e $ q = \sqrt{3} $ ou $ q = -\sqrt{3} $.
Se $ n = \sqrt{3} $, então $ q = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} $.
Se $ n = -\sqrt{3} $, então $ q = 2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} $, mas isso não satisfaz $ q^{2} = 3 $. Portanto, a única solução válida é $ n = \sqrt{3} $ e $ q = \sqrt{3} $.
Resposta
$ n^{2} + n \cdot q = 3 + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3 + 3 = 6 $