Sejam as matrizes
e
Se M=(cc raiz3 & q n & raiz3 ) , sendo P=(ll 6 & 6 6 & 6 ) a matriz transposta de M cdot M^t=P, então M^t é igual a:
Resposta: M

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem duas matrizes, $ M $ e $ P $, e sabemos que $ M \cdot M^{t} = P $, onde $ M^{t} $ é a transposta de $ M $. Nosso objetivo é descobrir o valor de $ n^{2} + n \cdot q $. Para isso, vamos precisar entender como multiplicar matrizes e como trabalhar com matrizes transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a transposta de $ M $, que é simplesmente trocar as linhas pelas colunas da matriz original. A matriz $ M $ é:
M
Então, a transposta $ M^{t} $ fica:
M

Passo 3

Agora, vamos multiplicar $ M $ por $ M^{t} $. A multiplicação de matrizes funciona assim: para cada elemento da matriz resultante, a gente multiplica os elementos das linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e soma tudo. Então,
M
Simplificando cada elemento:
M^t

Passo 4

Sabemos que $ M \cdot M^{t} = P $, onde $ P $ é:
M cdot M^t = P
Então, igualando as matrizes correspondentes:
  1. $ 3 + q^{2} = 6 $
  2. $ \sqrt{3}n + q\sqrt{3} = 6 $
  3. $ n\sqrt{3} + q\sqrt{3} = 6 $ (que é igual à segunda equação)
  4. $ n^{2} + 3 = 6 $

Passo 5

Vamos resolver as equações:
Da primeira equação:
3 + q^2 = 6 implies q^2 = 3 implies q = raiz3 ou q = -raiz3
Da quarta equação:
n^2 + 3 = 6 implies n^2 = 3 implies n = raiz3 ou n = -raiz3

Passo 6

Vamos usar a segunda equação para relacionar $ n $ e $ q $:
n
Sabemos que $ n = \sqrt{3} $ ou $ n = -\sqrt{3} $ e $ q = \sqrt{3} $ ou $ q = -\sqrt{3} $.
Se $ n = \sqrt{3} $, então $ q = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3} $.
Se $ n = -\sqrt{3} $, então $ q = 2\sqrt{3} - (-\sqrt{3}) = 3\sqrt{3} $, mas isso não satisfaz $ q^{2} = 3 $. Portanto, a única solução válida é $ n = \sqrt{3} $ e $ q = \sqrt{3} $.

Resposta

$ n^{2} + n \cdot q = 3 + (\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 3 + 3 = 6 $

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