Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos e obtemos uma equação de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo na equação temos a equação
Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação não estiver presente (somente e suas derivadas), fazemos , donde
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação temos as equações , que resolvemos para , e , que permite encontrar , depois de determinada
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial. .
Passo 1
O enunciado apresenta quatro equações de segunda ordem em que a função em si não aparece, apenas suas derivadas. Nesse caso usamos o Método da Redução de Ordem I (Variável Dependente Ausente): fazemos
e transformamos cada equação em uma de primeira ordem em . Depois encontramos por integração de .
Passo 2
Para
fazemos . A equação fica
É uma EDO linear em . Dividindo por :
O fator integrante é
Multiplicando por e integrando:
Finalmente
Passo 3
Para
fazemos , obtendo
Separamos variáveis:
Usando frações parciais ,
integramos e obtemos
Isto leva a
z^2=A,x^21-A,x^2,
onde A=C1^2. Logo
y'=pmraizA,xraiz1-Ax^2
e integrando
y=mpraiz1-Ax^2raizA+C2
Passo 4
Para
x^2y''=2x,y'+(y')^2
fazemos z=y', ficando
x^2z'=2xz+z^2 ;Longrightarrow; z'-2xz=z^2x^2
É uma Bernoulli de ordem 2. Fazendo u=z^-1 obtém-se a equação linear