Alguns tipos especiais de equações de segunda ordem podem, após uma mudança de variável, ser reduzidas a uma outra equação de primeira ordem e então resolvidas pelos métodos conhecidos.
  • Método da redução de ordem I - Variável Dependente Ausente: Se na equação y não estiver presente (somente suas derivadas), fazemos z=y^prime e obtemos uma equação de primeira ordem.
    Exemplo: Fazendo z=y^prime na equação x y^prime prime-y^prime=3 x^2 temos a equação x z^prime-z=3 x^2
  • Método da redução de ordem II - Variável Independente Ausente: Se na equação x não estiver presente (somente y e suas derivadas), fazemos u=y^prime=d yd x, donde
y^prime prime=u^prime=d ud x=d ud y d yd x=u d ud y
e então obtemos duas equações de primeira ordem.
Exemplo: Fazendo isso na equação y^prime prime+y=0 temos as equações u d ud y+y=0, que resolvemos para u(y), e u=d yd x, que permite encontrar y(x), depois de determinada u(y) square
Resolva, com essas técnicas, as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial.
x y^prime prime-y^prime=3 x^2 ; x y^prime prime-y^prime=(y^prime)^3 ; x^2 y^prime prime=2 x y^prime+(y^prime)^2 ; x^2 y^prime prime+x y^prime=1.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro equações de segunda ordem em que a função y em si não aparece, apenas suas derivadas. Nesse caso usamos o Método da Redução de Ordem I (Variável Dependente Ausente): fazemos
z = y'
e transformamos cada equação em uma de primeira ordem em z(x). Depois encontramos y(x) por integração de z.

Passo 2

Para
x,y'' - y' = 3x^2
fazemos z=y'. A equação fica
x,z' - z = 3x^2
É uma EDO linear em z. Dividindo por x:
z' - 1xz = 3x
O fator integrante é
mu(x)=expl(-!integral1xdxr)=x^-1
Multiplicando por mu e integrando:
ddxl(zxr)=3 Longrightarrow zx=3x+C1 Longrightarrow z=3x^2+C1x
Finalmente
y=integral z,dx =integral(3x^2+C1x),dx =x^3+C12x^2+C2

Passo 3

Para
x,y'' - y' = (y')^3
fazemos z=y', obtendo
x,z' - z = z^3 ;Longrightarrow; dzdx=z+z^3x
Separamos variáveis:
integraldzz(1+z^2) =integraldxx
Usando frações parciais
1z(1+z^2)=1z-z1+z^2,
integramos e obtemos
ln!l|tfraczraiz1+z^2r| =ln|x|+C1 ;Longrightarrow; z^21+z^2=C1^2x^2
Isto leva a
z^2=A,x^21-A,x^2,
onde A=C1^2. Logo
y'=pmraizA,xraiz1-Ax^2
e integrando
y=mpraiz1-Ax^2raizA+C2

Passo 4

Para
x^2y''=2x,y'+(y')^2
fazemos z=y', ficando
x^2z'=2xz+z^2 ;Longrightarrow; z'-2xz=z^2x^2
É uma Bernoulli de ordem 2. Fazendo u=z^-1 obtém-se a equação linear
u'+2xu=-1x^2
O fator integrante é x^2, e integra-se para
x^2u=-x+C1 ;Longrightarrow; u=-x+C1x^2 ;Longrightarrow; z=1u=x^2C1-x
Finalmente
y=integral z,dx =integralx^2C1-x,dx =-x^22-C1x-C1^2ln|C1-x|+C2

Passo 5

Para
x^2y''+x,y'=1
fazemos z=y', obtendo
x^2z'+x,z=1 ;Longrightarrow; z'+1xz=1x^2
Fator integrante mu=x. Multiplicando e integrando:
ddx(x,z)=1x ;Longrightarrow; x,z=ln|x|+C1 ;Longrightarrow; z=ln|x|x+C1x
Então
y=integral z,dx =integralln|x|x,dx +C1integraldxx =12(ln|x|)^2+C1ln|x|+C2

Resposta

Para as quatro equações, as soluções gerais são:
Para x,y''-y'=3x^2:
y=x^3+C12x^2+C2
Para x,y''-y'=(y')^3:
y=mpraiz1-Ax^2raizA+C2, A>0
Para x^2y''=2x,y'+(y')^2:
y=-x^22-C1x-C1^2ln|C1-x|+C2
Para x^2y''+x,y'=1:
y=12(ln|x|)^2+C1ln|x|+C2

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