Q 26 Mudando a variável, resolva as integrais abaixo que envolvem funções trigonométricas.
integral tg^3(x) cos ^4(x) d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral tan^3(x),cos^4(x),dx
usando mudança de variável e identidades trigonométricas. Vamos reescrever tudo em funções de sin e cos, usar a identidade tan^2(x)=sec^2(x)-1 e depois aplicar uma substituição adequada.

Passo 2

Usamos tan^3(x)=tan(x),tan^2(x) e sec^2(x)=1/cos^2(x). Assim
tan^3(x),cos^4(x) =tan(x),l(sec^2(x)-1r),cos^4(x) =tan(x),sec^2(x),cos^4(x);-;tan(x),cos^4(x)
Como sec^2(x),cos^4(x)=cos^2(x) e tan(x)=sin(x)cos(x), cada termo vira
tan(x),sec^2(x),cos^4(x) =sin(x)cos(x)cos^2(x) =sin(x)cos(x),
tan(x),cos^4(x) =sin(x)cos(x)cos^4(x) =sin(x)cos^3(x)
Logo o integrando se separa:
tan^3(x)cos^4(x) =sin(x)cos(x);-;sin(x)cos^3(x)

Passo 3

Reescrevemos a integral como diferença de duas
integral sin(x)cos(x),dx ;-; integral sin(x)cos^3(x),dx
Em ambas fazemos a substituição
u=cos(x), du=-sin(x),dx
Assim
integral sin(x)cos(x),dx =-integral u,du =-u^22,
integral sin(x)cos^3(x),dx =-integral u^3,du =-u^44

Passo 4

Voltando a x (ou seja, u=cos(x)), a integral original vale
-u^22 ;-; l(-u^44r) =u^44-u^22+C =cos^4(x)4-cos^2(x)2+C

Resposta

boxedcos^4(x)4-cos^2(x)2+C

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