Calcule as integrais:
Ib=integral x^3raiz1-x^2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida
Ib = integral x^3raiz1 - x^2,dx
O conteúdo principal aqui é usar substituição para integrar uma função que envolve raiz quadrática.

Passo 2

Beleza, vamos fazer a substituição
u = 1 - x^2,
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du = -2x,dx Longrightarrow x,dx = -tfrac12,du
Escrevemos x^3,dx = x^2cdot x,dx e usamos x^2 = 1 - u. Assim
x^3,dx = (1 - u)l(-tfrac12,dur) = -tfrac1 - u2,du,
enquanto raiz1 - x^2 = raizu. A integral vira
Ib = integral x^3raiz1 - x^2,dx = integral -tfrac1 - u2raizu,du = -tfrac12 integral l(u^-1/2 - u^1/2r),du

Passo 3

Agora distribuímos e integramos termo a termo:
-tfrac12 integral u^-1/2,du = -tfrac12 cdot 2u^1/2 = -u^1/2,
-tfrac12 integral l(-u^1/2r),du = +tfrac12 cdot 23u^3/2 = +tfrac13u^3/2
Somando os dois resultados e adicionando a constante C, temos
Ib = -u^1/2 + tfrac13u^3/2 + C

Passo 4

Finalmente, voltamos à variável original x com u = 1 - x^2. Logo
Ib = -raiz1 - x^2 + tfrac13(1 - x^2)^3/2 + C,
que costuma ser reescrito como
Ib = (1 - x^2)^3/23 - raiz1 - x^2 + C

Resposta

boxedIb = (1 - x^2)^3/23 - raiz1 - x^2 + C

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