Calcule as integrais:
Ic=integralx^3-2 xraiz5-x^4+[sec (3 x)1-tg(3 x)]^2 d x

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral indefinida
Ic=integralx^3-2xraiz5-x^4+l[sec(3x)1-tan(3x)r]^2dx
O conteúdo envolvido é prática de substituições: uma para lidar com a raiz raiz5-x^4 e outra para tratar o quadrado da secante sobre (1-tan). Vamos quebrar em duas integrais separadas.

Passo 2

Separamos
Ic =underbraceintegralx^3-2xraiz5-x^4,dxI1 ;+;underbraceintegrall[sec(3x)1-tan(3x)r]^2dxI2
Para I1, usamos a substituição
t = x^2 Longrightarrow dt = 2x,dx Longrightarrow x^3-2x = x,(x^2-2) e x,dx = dt2
Assim,
I1 =integralx,(x^2-2)raiz5-x^4,dx =12integralt-2raiz5-t^2,dt =12l(integraltraiz5-t^2,dt-!2integral1raiz5-t^2,dtr)

Passo 3

Agora calculamos cada parte:
  1. integraltraiz5-t^2,dt. Use w=5-t^2, dw=-2t,dt, vem
integraltraiz5-t^2,dt =-12integral w^-1/2dw =-raizw =-raiz5-t^2
  1. integral1raiz5-t^2,dt =arcsin!l(tfractraiz5r)
    Juntando em I1:
I1 =12l(-raiz5-t^2r) -l[arcsin!l(tfractraiz5r)r] =-12raiz5-t^2 -arcsin!l(tfractraiz5r)
Voltando a t=x^2:
I1=-tfrac12raiz5-x^4 -arcsin!l(tfracx^2raiz5r)

Passo 4

Para I2=integralsec^2(3x)l(1-tan(3x)r)^2,dx, fazemos
u=tan(3x), du=3sec^2(3x),dx Longrightarrow sec^2(3x),dx=du3
Então
I2 =integralsec^2(3x),dx(1-tan(3x))^2 =13integraldu(1-u)^2

Passo 5

Reconhecemos integral(1-u)^-2du=11-u. Logo,
I2 =13,11-u =13l(1-tan(3x)r)

Passo 6

Somando I1 e I2 obtemos a antiderivada geral:
Ic =-tfrac12raiz5-x^4 -arcsin!l(tfracx^2raiz5r) +13l(1-tan(3x)r) + C

Resposta

Ic =-12raiz5-x^4 -arcsin!l(x^2raiz5r) +13l(1-tan(3x)r) + C

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