Exemplo 1
Em um experimento, um filtro tipo prensa de laboratório, cuja área de filtração é
, é operado sob condições de queda de pressão constante de 210 kPa . O volume de filtrado foi coletado, em tempos regulares e os dados estão apresentados a seguir:
TEMPO [s]
VOLUME [L]
14
1,15
18
1,35
22
1,55
26
1,75
131
1,95
36
2,15
42
2,35
48
2,55
54
2,75
61
2,95
68
3,15
75
3,35
Calcular os valores de
e da vazão inicial.
| TEMPO [s] | VOLUME [L] |
| 14 | 1,15 |
| 18 | 1,35 |
| 22 | 1,55 |
| 26 | 1,75 |
| 131 | 1,95 |
| 36 | 2,15 |
| 42 | 2,35 |
| 48 | 2,55 |
| 54 | 2,75 |
| 61 | 2,95 |
| 68 | 3,15 |
| 75 | 3,35 |
Passo 1
O enunciado dá um experimento de filtração com área de filtração
, e queda de pressão constante
. Foi fornecida uma tabela de tempos e volumes coletados (peguei os dados da tabela fornecida pelo enunciado). Os pares
são:
Observação importante sobre os dados: na tabela original apareceu o valor
para o tempo associado a
; isso parece ser um erro de digitação (incompatível com o padrão dos demais tempos). Aqui adotei
para esse ponto, que é o valor plausível e consistente com o resto dos dados. Se você tiver o dado original diferente, os resultados mudam; avise-me se quiser que eu reavalie com outra correção.
O que o enunciado pede:
- Calcular
. - Calcular a vazão inicial (ou taxa volumétrica inicial)
.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Teoria e ideia do método (explicação passo a passo, sem pular etapas).
- Modelo da filtração em pressão constante (derivação curta e intuitiva).
- Durante a filtração, o fluxo é determinado pela resistência total ao escoamento (filtro suportes + bolo). Pela lei de Darcy, para área de filtração
,
onde
é a viscosidade do fluido e
é a resistência total por unidade de área somando resistência do meio filtrante
e a resistência do bolo
.
- A resistência do bolo cresce com o volume filtrado; se
for a concentração de sólidos (massa/volume de filtrado) e a resistência específica do bolo (constante), a resistência do bolo por unidade de área é
Assim
- A equação diferencial fica
Invertendo e integrando (partindo de
em
) chegamos à forma quadrática conhecida
- Dividindo ambos os lados por
obtemos a forma linear conveniente para tratamento dos dados:
onde definimos
Aqui:
-
tem unidades de se em segundos e em litros. -
é o coeficiente da parte dependente de (unidades se em litros). -
é o intercepto em e está relacionado à resistência inicial do meio filtrante; a vazão inicial (quando ainda não há bolo) é dada por
Observação prática muito útil: para dados experimentais, traçando
em função de
e fazendo ajuste linear por mínimos quadrados, obtemos diretamente
(coeficiente angular) e
(intercepto). A partir de
calculamos
sem precisar conhecer
,
ou
individualmente.
Método escolhido: ajustar por regressão linear a relação
versus
. Explico como calcular a reta por mínimos quadrados e depois extrair
e
.
Passo 3
Calcular
para cada ponto (usei
em litros e
em segundos; todos os cálculos de regressão seguem essas unidades). Vou mostrar cada razão:
Esses valores confirmam que
cresce de forma aproximadamente linear com
, então o ajuste linear é válido.]
Passo 4
Cálculo do ajuste linear por mínimos quadrados (detalhado).
Denotando
(em L) e
(em s/L), para
, as somas necessárias são:
Fórmulas da regressão linear (reta
):
Substituindo os números:
Logo
E o intercepto:
Interpretação: na forma
temos
e
.
Portanto:
Portanto:
Passo 5
Cálculo da vazão inicial
.
Conforme mostrado no Passo 2, a vazão inicial (quando
) é
Com
obtemos
Convertendo para unidades do SI:
Se quiser a velocidade superficial inicial (fluxo por área)
:
Passo 6
Resumo e verificação rápida de consistência:
- O ajuste linear de
vs deu uma reta razoavelmente ajustada (os pontos mostraram comportamento linear). - Como
depende apenas do intercepto, não precisamos conhecer viscosidade nem separadamente. - Mantive as unidades coerentes (tempo em s, volume em L) para que
fique em e em . Se preferir trabalhar com em , haveria um fator de conversão consistente.