Exemplo 1

Em um experimento, um filtro tipo prensa de laboratório, cuja área de filtração é 0,055 \mathrm{~m}^{2}, é operado sob condições de queda de pressão constante de 210 kPa . O volume de filtrado foi coletado, em tempos regulares e os dados estão apresentados a seguir:
TEMPO [s] VOLUME [L]
14 1,15
18 1,35
22 1,55
26 1,75
131 1,95
36 2,15
42 2,35
48 2,55
54 2,75
61 2,95
68 3,15
75 3,35
Calcular os valores de K_{P} e da vazão inicial.

Passo 1

O enunciado dá um experimento de filtração com área de filtração \,A=0{,}055\\ \mathrm{m}^2, e queda de pressão constante \,\Delta P=210\\ \mathrm{kPa}=210000\\ \mathrm{Pa}. Foi fornecida uma tabela de tempos e volumes coletados (peguei os dados da tabela fornecida pelo enunciado). Os pares (\text{tempo }t\\ [\mathrm{s}],\\ \text{volume }V\\ [\mathrm{L}]) são:
(14,\;1{,}15),\\ (18,\;1{,}35),\\ (22,\;1{,}55),\\ (26,\;1{,}75),\\ (31,\;1{,}95),
(36,\;2{,}15),\\ (42,\;2{,}35),\\ (48,\;2{,}55),\\ (54,\;2{,}75),\\ (61,\;2{,}95),
(68,\;3{,}15),\\ (75,\;3{,}35).
Observação importante sobre os dados: na tabela original apareceu o valor \,131 para o tempo associado a V=1{,}95; isso parece ser um erro de digitação (incompatível com o padrão dos demais tempos). Aqui adotei \,31\\ \mathrm{s} para esse ponto, que é o valor plausível e consistente com o resto dos dados. Se você tiver o dado original diferente, os resultados mudam; avise-me se quiser que eu reavalie com outra correção.
O que o enunciado pede:
  • Calcular \,K_P.
  • Calcular a vazão inicial (ou taxa volumétrica inicial) Q_0.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Teoria e ideia do método (explicação passo a passo, sem pular etapas).
  1. Modelo da filtração em pressão constante (derivação curta e intuitiva).
  • Durante a filtração, o fluxo é determinado pela resistência total ao escoamento (filtro suportes + bolo). Pela lei de Darcy, para área de filtração A,
\frac{dV}{dt} = \frac{A\,\Delta P}{\mu \,R_\text{total}},
onde \mu é a viscosidade do fluido e R_\text{total} é a resistência total por unidade de área somando resistência do meio filtrante R_m e a resistência do bolo R_c.
  • A resistência do bolo cresce com o volume filtrado; se c for a concentração de sólidos (massa/volume de filtrado) e \alpha a resistência específica do bolo (constante), a resistência do bolo por unidade de área é
R_c = \alpha\,\frac{c\,V}{A}.
Assim
R_\text{total} = R_m + \alpha\,\frac{c\,V}{A}.
  1. A equação diferencial fica
\frac{dV}{dt} = \frac{A\,\Delta P}{\mu\left(R_m + \alpha\frac{cV}{A}\right)}.
Invertendo e integrando (partindo de V=0 em t=0) chegamos à forma quadrática conhecida
t = \frac{\mu R_m}{A\Delta P}\,V + \frac{\mu \alpha c}{2 A^2 \Delta P}\,V^2.
  1. Dividindo ambos os lados por V obtemos a forma linear conveniente para tratamento dos dados:
\frac{t}{V} = B + K_P\,V,
onde definimos
B = \frac{\mu R_m}{A\Delta P}\quad\text{e}\quad K_P = \frac{\mu \alpha c}{2 A^2 \Delta P}.
Aqui:
  • \frac{t}{V} tem unidades de \mathrm{s/L} se t em segundos e V em litros.
  • K_P é o coeficiente da parte dependente de V (unidades \mathrm{s/L^2} se V em litros).
  • B é o intercepto em V=0 e está relacionado à resistência inicial do meio filtrante; a vazão inicial Q_0 (quando ainda não há bolo) é dada por
Q_0 = \left(\frac{dV}{dt}\right)_{V\to0} = \frac{1}{B}.
Observação prática muito útil: para dados experimentais, traçando \,t/V em função de V e fazendo ajuste linear por mínimos quadrados, obtemos diretamente K_P (coeficiente angular) e B (intercepto). A partir de B calculamos Q_0=1/B sem precisar conhecer \mu, \alpha ou c individualmente.
Método escolhido: ajustar por regressão linear a relação \,y=\frac{t}{V} versus x=V. Explico como calcular a reta por mínimos quadrados e depois extrair K_P e Q_0.

Passo 3

Calcular \,t/V para cada ponto (usei V em litros e t em segundos; todos os cálculos de regressão seguem essas unidades). Vou mostrar cada razão:
\begin{aligned} \frac{14}{1{,}15} &= 12{,}173913,\\[4pt] \frac{18}{1{,}35} &= 13{,}333333,\\[4pt] \frac{22}{1{,}55} &= 14{,}193548,\\[4pt] \frac{26}{1{,}75} &= 14{,}857143,\\[4pt] \frac{31}{1{,}95} &= 15{,}897436,\\[4pt] \frac{36}{2{,}15} &= 16{,}744186,\\[4pt] \frac{42}{2{,}35} &= 17{,}872340,\\[4pt] \frac{48}{2{,}55} &= 18{,}823529,\\[4pt] \frac{54}{2{,}75} &= 19{,}636364,\\[4pt] \frac{61}{2{,}95} &= 20{,}677966,\\[4pt] \frac{68}{3{,}15} &= 21{,}587302,\\[4pt] \frac{75}{3{,}35} &= 22{,}388060. \end{aligned}
Esses valores confirmam que \,t/V cresce de forma aproximadamente linear com V, então o ajuste linear é válido.]

Passo 4

Cálculo do ajuste linear por mínimos quadrados (detalhado).
Denotando x_i=V_i (em L) e y_i=t_i/V_i (em s/L), para i=1,\dots,12, as somas necessárias são:
\begin{aligned} n &= 12,\\[4pt] \sum x_i &= 27{,}00\\ \text{L},\\[4pt] \sum y_i &= 208{,}185119\\ \text{s/L}\\ (\text{soma dos }t/V\text{ calculados}),\\[4pt] \sum x_i^2 &= 66{,}47\\ \text{L}^2,\\[4pt] \sum x_i y_i &= \sum t_i = 495\\ \text{s} \quad(\text{pois }x_i y_i = V_i\cdot(t_i/V_i)=t_i). \end{aligned}
Fórmulas da regressão linear (reta y=m x + b):
m = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}, \qquad b = \frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n}.
Substituindo os números:
\begin{aligned} \text{numerador } &= 12\cdot 495 - 27\cdot 208{,}185119 = 319{,}001787,\\[4pt] \text{denominador } &= 12\cdot 66{,}47 - 27^2 = 68{,}64. \end{aligned}
Logo
m = \frac{319{,}001787}{68{,}64} \approx 4{,}648\\ \mathrm{s/L^2}.
E o intercepto:
b = \frac{208{,}185119 - 4{,}648\cdot 27{,}00}{12} \approx 6{,}891\\ \mathrm{s/L}.
Interpretação: na forma \,t/V = B + K_P\,V temos K_P = m e B = b.
Portanto:
K_P \approx 4{,}648\\ \mathrm{s/L^2},\qquad B \approx 6{,}891\\ \mathrm{s/L}.]

Passo 5

Cálculo da vazão inicial Q_0.
Conforme mostrado no Passo 2, a vazão inicial (quando V\to 0) é
Q_0 = \frac{1}{B}.
Com B\approx 6{,}891\\ \mathrm{s/L} obtemos
Q_0 \approx \frac{1}{6{,}891}\\ \mathrm{L/s} \approx 0{,}1451\\ \mathrm{L/s}.
Convertendo para unidades do SI:
Q_0 \approx 0{,}1451\\ \mathrm{L/s} = 0{,}1451\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 1{,}451\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
Se quiser a velocidade superficial inicial (fluxo por área) \,J_0 = Q_0/A:
J_0 \approx \frac{1{,}451\times10^{-4}}{0{,}055}\\ \mathrm{m/s}\approx 2{,}64\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Resumo e verificação rápida de consistência:
  • O ajuste linear de \,t/V vs V deu uma reta razoavelmente ajustada (os pontos mostraram comportamento linear).
  • Como Q_0=1/B depende apenas do intercepto, não precisamos conhecer viscosidade nem \alpha separadamente.
  • Mantive as unidades coerentes (tempo em s, volume em L) para que K_P fique em \mathrm{s/L^2} e B em \mathrm{s/L}. Se preferir trabalhar com V em \mathrm{m^3}, haveria um fator de conversão consistente.

Resposta

K_P \approx 4{,}648\\ \mathrm{s/L^{2}}
Q_0 \approx 0{,}1451\\ \mathrm{L/s} = 1{,}451\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}

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