Durante a filtração de uma suspensão, os seguintes dados experimentais mostrados foram obtidos:
tempo [s]
4
massa de torta seca [kg]
9
0,12
15
0,25
22
0,37
28
0,49
35
0,61
41
0,74
50
0,86
61
0,98
66
1,10
1,23
A suspensão apresenta as seguintes características: relação mássica da torta úmida e seca igual a 1,6; fração mássica de sólidos na suspensão de 0,12 e a densidade do filtrado igual a
. Calcular o volume do filtrado após 2 min de filtração.
| tempo [s] | |
| 4 | massa de torta seca [kg] |
| 9 | 0,12 |
| 15 | 0,25 |
| 22 | 0,37 |
| 28 | 0,49 |
| 35 | 0,61 |
| 41 | 0,74 |
| 50 | 0,86 |
| 61 | 0,98 |
| 66 | 1,10 |
| 1,23 |
Passo 1
Resumo do que o problema dá e pede (com todos os dados relevantes explicitados):
Temos uma tabela com medições de tempo e massa da torta seca. Os pares que aparecem completos no enunciado são (tempo [s], massa torta seca [kg]):
Observação: a primeira linha da tabela (tempo
s) está sem massa e o último valor de massa
kg apareceu sem tempo; por isso vou usar apenas os pares completos listados acima.
Além disso o enunciado fornece:
O que pede: calcular o volume do filtrado após
minutos de filtração, ou seja após
s.
Passo 2
Como converter massa de torta seca em volume de filtrado — balanço de massa (explicação didática):
- Denotemos a massa de torta seca por
(kg). - A massa da torta úmida é
. - A água retida na torta (massa de líquido aprisionado na torta) é
. - Se processamos uma certa massa de suspensão
(kg), a massa de sólidos nessa suspensão é . Supondo que todos os sólidos sejam retidos na torta, temos - A massa de líquido contida na suspensão processada é
. - Deste líquido, uma parte é retida na torta (
) e o restante sai como filtrado. Logo a massa do filtrado é Substituindo e , obtemos, após simplificação (vou mostrar os passos): Reorganizando: Isto é muito útil: uma vez que conhecemos , podemos calcular diretamente . - Finalmente o volume do filtrado é
Comentário intuitivo: a fração
é um fator que transforma a massa de sólidos retidos em massa de filtrado, levando em conta a fração de sólidos do alimento e a água que fica aprisionada na torta.
Passo 3
Como estimar
em
s (modelo de filtração e estratégia):
- Na filtração a pressão constante, a teoria clássica do filtro de torta dá a relação entre o volume de filtrado
e o tempo como onde e são constantes que dependem das propriedades do fluido, da resistência do meio e do filtro. (Rápida explicação: o termo em vem do crescimento da resistência da torta com sua espessura; o termo em é a resistência fixa do meio filtrante.) - Se definirmos
como a massa de sólidos por unidade de volume de filtrado (ou seja, ), então substituindo obtemos Dividindo ambos os lados por (para ): onde e . Ou seja, se a teoria vale, um gráfico de versus deve ser aproximadamente linear. - Estratégia prática (da prova): calcular
para cada medida, ajustar uma reta por mínimos quadrados , determinar e , e então resolver a equação quadrática para s, obtendo em s. Depois, usar o resultado do Passo 2 para achar o volume do filtrado.
Vou agora executar passo a passo esse ajuste linear (muito usado em provas de filtração).
Passo 4
Cálculo dos valores
para cada par (faço as contas explicitamente):
Dados
:
Passo 5
Cálculo das somas para o ajuste linear por mínimos quadrados (com
e
):
- Vou usar as fórmulas padrão: para
pontos, a inclinação e o intercepto
Calculo dos somatórios (mostrando como obtive cada um):
-
-
- Note:
(economiza cálculo — sempre checar esse truque!) -
(somando os quadrados dos listados).
Passo 6
Cálculo dos coeficientes
e
:
- Numerador para
: - Denominador para
: - Logo
- Intercepto
Comentário: idealmente
segundo a teoria (coeficiente associado ao termo quadrático positivo), mas dados experimentais têm ruído; o ajuste deu
ligeiramente negativo. Mesmo assim podemos proceder matematicamente e resolver a equação quadrática resultante; depois discutirei a escolha da raiz física.
Portanto o modelo ajustado que vamos usar é
com
e
.
Passo 7
Resolver a equação quadrática para
s (2 minutos):
Temos
Multiplicando por
para facilitar:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Cálculo do discriminante aproximado:
Assim as duas raízes (aproximadas) são
Escolha da raiz fisicamente plausível:
- Ambas são positivas matematicamente, mas olhe para os dados experimentais: em
s a massa era kg. É razoável que em s a massa aumente, mas não salte para muitas vezes maior de forma instantânea. Das duas raízes, a menor ( kg) é a que corresponde à continuação física do processo (a outra raiz corresponderia a um ramo não-physical do polinômio ajustado). Portanto tomo
Passo 8
Calcular a massa do filtrado e o volume do filtrado usando a fórmula do Passo 2:
- Primeiro o fator multiplicador:
- Massa do filtrado:
- Volume do filtrado:
Convertendo para litros:
Observação final (motivacional): sei que o ajuste deu um coeficiente
com sinal inesperado; isso pode ocorrer com dados experimentais ruidosos. O procedimento usado (ajuste
vs
e solução da quadrática) é o método correto exigido pela teoria de filtração em muitas provas; se você tiver menos tempo na prova, uma alternativa rápida é ajustar uma reta aos pontos finais e extrapolar linearmente, mas a abordagem completa que fiz é a mais padrão.