Durante a filtração de uma suspensão, os seguintes dados experimentais mostrados foram obtidos:
tempo [s]
4 massa de torta seca [kg]
9 0,12
15 0,25
22 0,37
28 0,49
35 0,61
41 0,74
50 0,86
61 0,98
66 1,10
1,23
A suspensão apresenta as seguintes características: relação mássica da torta úmida e seca igual a 1,6; fração mássica de sólidos na suspensão de 0,12 e a densidade do filtrado igual a 999 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-3}. Calcular o volume do filtrado após 2 min de filtração.

Passo 1

Resumo do que o problema dá e pede (com todos os dados relevantes explicitados):
Temos uma tabela com medições de tempo e massa da torta seca. Os pares que aparecem completos no enunciado são (tempo [s], massa torta seca [kg]):
(9,\;0,12),\;(15,\;0,25),\;(22,\;0,37),\;(28,\;0,49),\;(35,\;0,61),
(41,\;0,74),\;(50,\;0,86),\;(61,\;0,98),\;(66,\;1,10).
Observação: a primeira linha da tabela (tempo 4 s) está sem massa e o último valor de massa 1,23 kg apareceu sem tempo; por isso vou usar apenas os pares completos listados acima.
Além disso o enunciado fornece:
\text{relação mássica torta úmida / torta seca } r = 1,6,çãáú
\text{fração mássica de sólidos na suspensão } w_s = 0,12,çãáóã
\text{densidade do filtrado } \rho = 999\\ \mathrm{kg\cdot m^{-3}}.
O que pede: calcular o volume do filtrado após 2 minutos de filtração, ou seja após t=120 s.

Passo 2

Como converter massa de torta seca em volume de filtrado — balanço de massa (explicação didática):
  • Denotemos a massa de torta seca por \,m_s (kg).
  • A massa da torta úmida é \,m_w = r\,m_s.
  • A água retida na torta (massa de líquido aprisionado na torta) é \,m_{\text{ret}} = m_w - m_s = (r-1)m_s.
  • Se processamos uma certa massa de suspensão M_{\text{susp}} (kg), a massa de sólidos nessa suspensão é w_s\,M_{\text{susp}}. Supondo que todos os sólidos sejam retidos na torta, temos m_s = w_s\,M_{\text{susp}} \quad\Rightarrow\quad M_{\text{susp}}=\frac{m_s}{w_s}.
  • A massa de líquido contida na suspensão processada é M_{\text{susp}}-m_s.
  • Deste líquido, uma parte é retida na torta ( m_{\text{ret}}) e o restante sai como filtrado. Logo a massa do filtrado é m_{\text{filt}} = \bigl(M_{\text{susp}}-m_s\bigr) - m_{\text{ret}}.Substituindo M_{\text{susp}}=\dfrac{m_s}{w_s} e m_{\text{ret}}=(r-1)m_s, obtemos, após simplificação (vou mostrar os passos): m_{\text{filt}} = \frac{m_s}{w_s}-m_s -(r-1)m_s = m_s\Bigl(\frac{1}{w_s}-1 - (r-1)\Bigr).Reorganizando: m_{\text{filt}} = m_s\frac{1 - w_s r}{w_s}.Isto é muito útil: uma vez que conhecemos m_s, podemos calcular diretamente m_{\text{filt}}.
  • Finalmente o volume do filtrado é V = \frac{m_{\text{filt}}}{\rho} = \frac{m_s}{\rho}\cdot\frac{1 - w_s r}{w_s}.
Comentário intuitivo: a fração \dfrac{1-w_s r}{w_s} é um fator que transforma a massa de sólidos retidos em massa de filtrado, levando em conta a fração de sólidos do alimento e a água que fica aprisionada na torta.

Passo 3

Como estimar m_s em t=120 s (modelo de filtração e estratégia):
  • Na filtração a pressão constante, a teoria clássica do filtro de torta dá a relação entre o volume de filtrado V e o tempo t como t = a\,V^2 + b\,V,onde a e b são constantes que dependem das propriedades do fluido, da resistência do meio e do filtro. (Rápida explicação: o termo em V^2 vem do crescimento da resistência da torta com sua espessura; o termo em V é a resistência fixa do meio filtrante.)
  • Se definirmos c como a massa de sólidos por unidade de volume de filtrado (ou seja, m_s = c\,V), então substituindo V = m_s/c obtemos t = \frac{a}{c^2}\,m_s^2 + \frac{b}{c}\,m_s.Dividindo ambos os lados por m_s (para m_s>0): \frac{t}{m_s} = A\,m_s + B,onde A = \dfrac{a}{c^2} e B = \dfrac{b}{c}. Ou seja, se a teoria vale, um gráfico de \dfrac{t}{m_s} versus m_s deve ser aproximadamente linear.
  • Estratégia prática (da prova): calcular \dfrac{t}{m_s} para cada medida, ajustar uma reta por mínimos quadrados \dfrac{t}{m_s} = A\,m_s + B, determinar A e B, e então resolver a equação quadrática t = A\,m_s^2 + B\,m_spara t=120 s, obtendo m_s em 120 s. Depois, usar o resultado do Passo 2 para achar o volume do filtrado.
Vou agora executar passo a passo esse ajuste linear (muito usado em provas de filtração).

Passo 4

Cálculo dos valores \dfrac{t}{m_s} para cada par (faço as contas explicitamente):
Dados (t,\;m_s):
\begin{array}{c|c|c} t\\ (\text{s}) & m_s\\ (\text{kg}) & t/m_s\\ (\text{s/kg})\\hline 9 & 0,12 & \dfrac{9}{0,12}=75,000\\[2pt] 15 & 0,25 & \dfrac{15}{0,25}=60,000\\[2pt] 22 & 0,37 & \dfrac{22}{0,37}\approx59,459459\\[2pt] 28 & 0,49 & \dfrac{28}{0,49}\approx57,142857\\[2pt] 35 & 0,61 & \dfrac{35}{0,61}\approx57,377049\\[2pt] 41 & 0,74 & \dfrac{41}{0,74}\approx55,405405\\[2pt] 50 & 0,86 & \dfrac{50}{0,86}\approx58,139535\\[2pt] 61 & 0,98 & \dfrac{61}{0,98}\approx62,244898\\[2pt] 66 & 1,10 & \dfrac{66}{1,10}=60,000 \end{array}]

Passo 5

Cálculo das somas para o ajuste linear por mínimos quadrados (com x=m_s e y=t/m_s):
  • Vou usar as fórmulas padrão: para n pontos, a inclinação A = \frac{n\sum x y - (\sum x)(\sum y)}{n\sum x^2 - (\sum x)^2},e o intercepto B = \frac{\sum y - A\sum x}{n}.
Calculo dos somatórios (mostrando como obtive cada um):
  • \sum x = \sum m_s = 0,12+0,25+0,37+0,49+0,61+0,74+0,86+0,98+1,10 = 5,52\\ \text{kg}.
  • \sum y = \sum (t/m_s) \approx 544,769204.
  • Note: \sum x y = \sum (m_s \cdot t/m_s) = \sum t = 9+15+22+28+35+41+50+61+66 = 327\\ \text{s}. (economiza cálculo — sempre checar esse truque!)
  • \sum x^2 = \sum m_s^2 \approx 4,2836\\ \text{kg}^2 (somando os quadrados dos m_s listados).

Passo 6

Cálculo dos coeficientes A e B:
  • Numerador para A: n\sum xy - (\sum x)(\sum y) = 9\cdot327 - 5{,}52\cdot544{,}769204 \approx -64{,}1260.
  • Denominador para A: n\sum x^2 - (\sum x)^2 = 9\cdot4{,}2836 - (5{,}52)^2 = 8{,}082.
  • Logo A \approx \frac{-64{,}1260}{8{,}082}\approx -7{,}933.
  • Intercepto B \approx \frac{544{,}769204 - (-7{,}933)\cdot5{,}52}{9}\approx 65{,}394.
Comentário: idealmente A>0 segundo a teoria (coeficiente associado ao termo quadrático positivo), mas dados experimentais têm ruído; o ajuste deu A ligeiramente negativo. Mesmo assim podemos proceder matematicamente e resolver a equação quadrática resultante; depois discutirei a escolha da raiz física.
Portanto o modelo ajustado que vamos usar é
\frac{t}{m_s}=A m_s + B\quad\Rightarrow\quad t = A m_s^2 + B m_s,
com A\approx -7{,}933 e B\approx 65{,}394.

Passo 7

Resolver a equação quadrática para t=120 s (2 minutos):
Temos
-7{,}933\,m_s^2 + 65{,}394\,m_s - 120 = 0.
Multiplicando por -1 para facilitar:
7{,}933\,m_s^2 -65{,}394\,m_s +120 = 0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
m_s = \frac{65{,}394 \pm \sqrt{65{,}394^2 - 4\cdot 7{,}933\cdot 120}}{2\cdot 7{,}933}.
Cálculo do discriminante aproximado:
\Delta \approx 65{,}394^2 - 4\cdot7{,}933\cdot120 \approx 468{,}54,
\sqrt{\Delta}\approx 21{,}642.
Assim as duas raízes (aproximadas) são
m_{s1}\approx\frac{65{,}394-21{,}642}{15{,}866}\approx 2{,}758\\ \text{kg},
m_{s2}\approx\frac{65{,}394+21{,}642}{15{,}866}\approx 5{,}485\\ \text{kg}.
Escolha da raiz fisicamente plausível:
  • Ambas são positivas matematicamente, mas olhe para os dados experimentais: em 66 s a massa era 1{,}10 kg. É razoável que em 120 s a massa aumente, mas não salte para muitas vezes maior de forma instantânea. Das duas raízes, a menor ( m_{s1}\approx2{,}758 kg) é a que corresponde à continuação física do processo (a outra raiz corresponderia a um ramo não-physical do polinômio ajustado). Portanto tomo
m_s(120\\ \text{s}) \approx 2{,}758\\ \text{kg}.

Passo 8

Calcular a massa do filtrado e o volume do filtrado usando a fórmula do Passo 2:
  • Primeiro o fator multiplicador: \frac{1 - w_s r}{w_s} = \frac{1 - 0{,}12\cdot 1{,}6}{0{,}12} = \frac{1 - 0{,}192}{0{,}12}=\frac{0{,}808}{0{,}12}=6{,}733333\ldots
  • Massa do filtrado: m_{\text{filt}} = m_s\cdot 6{,}733333 \approx 2{,}758\cdot 6{,}733333 \approx 18{,}571\\ \text{kg}.
  • Volume do filtrado: V=\frac{m_{\text{filt}}}{\rho} \approx \frac{18{,}571}{999}\\ \mathrm{m^3}\approx 0{,}01859\\ \mathrm{m^3}.Convertendo para litros: 0{,}01859\\ \mathrm{m^3}=18{,}59\\ \mathrm{L}.
Observação final (motivacional): sei que o ajuste deu um coeficiente \,A com sinal inesperado; isso pode ocorrer com dados experimentais ruidosos. O procedimento usado (ajuste t/m vs m e solução da quadrática) é o método correto exigido pela teoria de filtração em muitas provas; se você tiver menos tempo na prova, uma alternativa rápida é ajustar uma reta aos pontos finais e extrapolar linearmente, mas a abordagem completa que fiz é a mais padrão.

Resposta

V \approx 0{,}0186\\ \mathrm{m^3} (aproximadamente 18{,}6\\ \mathrm{L}).

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