Um alimento fluido é processado continuamente com vazão de 15 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~min}^{-1} por meio de trocadores de calor e um tubo de retenção com diâmetro interno de 2,3 \mathrm{~cm} e comprimento de 16 m . A temperatura de processo é de 82,2^{\circ} \mathrm{C}, controlada na saída do tubo de retenção. Nessa temperatura, a densidade do alimento é de 1010 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{-3} e a viscosidade é de 15 \mathrm{mPa} . \mathrm{s} (comportamento newtoniano). Supondo processo isotérmico no tubo de retenção e considerando uma enzima com \mathrm{D}_{82,2}{ }^{\circ} \mathrm{C}=9,7 \mathrm{~s}, pede-se o valor de esterilização calculado a partir: a) da velocidade média; b) da velocidade máxima; c) do perfil de velocidade no tubo.
OBS: utilizar Tabela 13.7 do livro.
[Respostas: a) SV = 2,74; b) SV = 1,37; c) SV = 1,82]
Passo 1
O enunciado pede o “valor de esterilização (SV)” para um processo contínuo em um tubo de retenção, considerando três formas de avaliar a velocidade: a) velocidade média; b) velocidade máxima; c) perfil de velocidade (parabólico, escoamento laminar). Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
Diâmetro interno do tubo: d = 2{,}3\\ \mathrm{cm}.
Comprimento do tubo: L = 16\\ \mathrm{m}.
Temperatura de processo: 82{,}2^\circ\mathrm{C} (isotérmico no tubo).
D-valor à temperatura de processo: D_{82{,}2^\circ\mathrm{C}} = 9{,}7\\ \mathrm{s}.
Densidade e viscosidade foram fornecidas (\rho=1010\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, \mu=15\\ \mathrm{mPa}\cdot\mathrm{s}), mas só precisamos da condição de escoamento laminar (perfil parabólico) — assumiremos o perfil plenamente desenvolvido.
Resposta esperada (para checar no final): a) \mathrm{SV}=2{,}74; b) \mathrm{SV}=1{,}37; c) \mathrm{SV}=1{,}82.
Observação: eu vou usar a definição prática e usual aqui — inativação com cinética de primeira ordem com base no D-valor: a fração sobrevivente local após tempo t é 10^{-t/D}. O SV (valor de esterilização) é o logaritmo decimal da redução global, ou seja \mathrm{SV}=-\log_{10}(\text{fração sobrevivente total à saída}). Com isso em mente, começo os cálculos.
Passo 2
Converter unidades e calcular área, volume do tubo e tempo de residência médio.
Converter vazão para \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1}:
(Confirmação rápida: L/u_{\text{m}} = 16/0{,}602 \approx 26{,}58\\ \mathrm{s}, igual a \tau_{\text{m}}.)
Passo 3
Explicar o conceito de D-valor e como ele se relaciona com o SV quando usamos uma única velocidade uniforme (caso médio).
Definição: o D-valor àquela temperatura é o tempo necessário para reduzir a população microbiana em uma ordem logarítmica (10 vezes) sob as condições dadas. Para cinética de primeira ordem, a sobrevivência após tempo t é
\frac{N}{N_0} = 10^{-t/D}.
Se todo o fluido tiver o mesmo tempo de permanência t, então a fração sobrevivente global é 10^{-t/D} e o logaritmo decimal de redução (SV) é
Logo o SV calculado com a velocidade máxima (isto é, supondo que todo o fluido percorre o tubo à velocidade máxima, uma hipótese conservadora do ponto de vista de menor esterilização) é:
Interpretação: isso corresponde a subestimar a inativação (porque usa o menor tempo de permanência entre os fluidos que efetivamente passam mais rápido).
Passo 5
Caso (c): calcular o SV considerando o perfil de velocidade real (parabólico). Agora precisamos computar a fração sobrevivente global e daí o SV global.
Estratégia didática: cada “fatia” anular do fluido, localizada a raio r com espessura dr, tem velocidade u(r) e contribui para o fluxo com dQ = u(r)\,2\pi r\,dr. A fração sobrevivente dessa fatia depois de percorrer o tubo é 10^{-t(r)/D} com t(r)=L/u(r). A fração sobrevivente total (pesada pelo fluxo que chega à saída) é a média ponderada pela contribuição de fluxo:
S \equiv \frac{N}{N_0}\Big|_{\text{saída}} = \frac{1}{Q}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,10^{-L/(u(r)D)}\,dr.
O SV global é então
\mathrm{SV} = -\log_{10}(S).
Agora vamos simplificar a integral usando o perfil parabólico e não fazer passos confusos: coloque x = r/R (variável adimensional, 0\le x\le1).
Escrevendo o perfil com u_{\max}=2u_{\text{m}}:
u(r) = 2u_{\text{m}}(1-x^2).
Substituindo na expressão de S e simplificando (mostro a manipulação algébrica):
S = 2\int_{0}^{1} x\cdot \bigl(2(1-x^2)\bigr)\,10^{-L/(2u_{\text{m}}(1-x^2)D)}\,dx = 4\int_{0}^{1} x(1-x^2)\,10^{-\dfrac{A}{1-x^2}}\,dx,
onde definimos, para simplificar, a constante adimensional
A \equiv \frac{L}{2u_{\text{m}}D} = \frac{\tau_{\text{m}}}{2D}.
Observação útil: A é numericamente igual ao \mathrm{SV}_{\max} que calculamos no Passo 4 (pois \mathrm{SV}_{\max}=\tau_{\max}/D=(\tau_{\text{m}}/2)/D). Usaremos isso.
Passo 6
Avaliação numérica da integral para obter S e daí \mathrm{SV}. Vou calcular A numericamente e fazer uma integração numérica simples (Simpson) bem explicada.
Calcular A:
A = \frac{\tau_{\text{m}}}{2D} = \frac{26{,}58}{2\cdot 9{,}7} \approx 1{,}369.
Temos então
S = 4\int_{0}^{1} x(1-x^2)\,10^{-A/(1-x^2)}\,dx.
Para integrar numericamente eu avalio a função
f(x) = 4\,x(1-x^2)\,10^{-A/(1-x^2)}
em pontos de x no intervalo [0,1] e aplico a regra de Simpson com passo h=0{,}125 (8 subintervalos). Abaixo mostro os valores calculados (arredondei, mas mantive precisão suficiente):
Tabela de avaliação (mostro apenas os valores relevantes):
Explicação curta: a integral representa a média ponderada (pelo fluxo) das frações sobreviventes em cada anel; o resultado mostra que a inativação efetiva, levando em conta fluidos lentos próximos à parede (que permanecem mais tempo e, portanto, ajudam a esterilizar), fica entre os dois extremos calculados nos itens (a) e (b).
Resposta
a) \mathrm{SV}=2{,}74
b) \mathrm{SV}=1{,}37
c) \mathrm{SV}=1{,}82