Um alimento fluido é processado continuamente com vazão de 15 \mathrm{~L} \cdot \mathrm{~min}^{-1} por meio de trocadores de calor e um tubo de retenção com diâmetro interno de 2,3 \mathrm{~cm} e comprimento de 16 m . A temperatura de processo é de 82,2^{\circ} \mathrm{C}, controlada na saída do tubo de retenção. Nessa temperatura, a densidade do alimento é de 1010 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{-3} e a viscosidade é de 15 \mathrm{mPa} . \mathrm{s} (comportamento newtoniano). Supondo processo isotérmico no tubo de retenção e considerando uma enzima com \mathrm{D}_{82,2}{ }^{\circ} \mathrm{C}=9,7 \mathrm{~s}, pede-se o valor de esterilização calculado a partir: a) da velocidade média; b) da velocidade máxima; c) do perfil de velocidade no tubo.
OBS: utilizar Tabela 13.7 do livro.
[Respostas: a) SV = 2,74; b) SV = 1,37; c) SV = 1,82]

Passo 1

O enunciado pede o “valor de esterilização (SV)” para um processo contínuo em um tubo de retenção, considerando três formas de avaliar a velocidade: a) velocidade média; b) velocidade máxima; c) perfil de velocidade (parabólico, escoamento laminar). Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Vazão volumétrica: Q = 15\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{min}^{-1}.
  • Diâmetro interno do tubo: d = 2{,}3\\ \mathrm{cm}.
  • Comprimento do tubo: L = 16\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura de processo: 82{,}2^\circ\mathrm{C} (isotérmico no tubo).
  • D-valor à temperatura de processo: D_{82{,}2^\circ\mathrm{C}} = 9{,}7\\ \mathrm{s}.
  • Densidade e viscosidade foram fornecidas ( \rho=1010\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}, \mu=15\\ \mathrm{mPa}\cdot\mathrm{s}), mas só precisamos da condição de escoamento laminar (perfil parabólico) — assumiremos o perfil plenamente desenvolvido.
  • Resposta esperada (para checar no final): a) \mathrm{SV}=2{,}74; b) \mathrm{SV}=1{,}37; c) \mathrm{SV}=1{,}82.
Observação: eu vou usar a definição prática e usual aqui — inativação com cinética de primeira ordem com base no D-valor: a fração sobrevivente local após tempo t é 10^{-t/D}. O SV (valor de esterilização) é o logaritmo decimal da redução global, ou seja \mathrm{SV}=-\log_{10}(\text{fração sobrevivente total à saída})çãàí. Com isso em mente, começo os cálculos.

Passo 2

Converter unidades e calcular área, volume do tubo e tempo de residência médio.
  • Converter vazão para \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1}:
Q = 15\\ \mathrm{L}\cdot\mathrm{min}^{-1} = 15\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{min}^{-1} = \frac{15\cdot 10^{-3}}{60}\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1} = 0{,}00025\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Raio interno do tubo:
R = \frac{d}{2} = \frac{2{,}3\\ \mathrm{cm}}{2} = 1{,}15\\ \mathrm{cm} = 0{,}0115\\ \mathrm{m}.
  • Área da secção transversal:
A = \pi R^2 = \pi(0{,}0115)^2 \\ \mathrm{m}^2 \approx \pi\cdot 0{,}00013225 \approx 0{,}0004153\\ \mathrm{m}^2.
  • Volume do tubo de retenção:
V = A L = 0{,}0004153\cdot 16 \\ \mathrm{m}^3 \approx 0{,}006645\\ \mathrm{m}^3.
  • Tempo de residência médio (usando \tau = V/Q ou \tau = L/u_{\text{m}} onde u_{\text{m}} é velocidade média):
\tau_{\text{m}} = \frac{V}{Q} = \frac{0{,}006645}{0{,}00025}\\ \mathrm{s} \approx 26{,}58\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade média:
u_{\text{m}} = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}00025}{0{,}0004153}\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1} \approx 0{,}602\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
(Confirmação rápida: L/u_{\text{m}} = 16/0{,}602 \approx 26{,}58\\ \mathrm{s}, igual a \tau_{\text{m}}.)

Passo 3

Explicar o conceito de D-valor e como ele se relaciona com o SV quando usamos uma única velocidade uniforme (caso médio).
  • Definição: o D-valor àquela temperatura é o tempo necessário para reduzir a população microbiana em uma ordem logarítmica (10 vezes) sob as condições dadas. Para cinética de primeira ordem, a sobrevivência após tempo t é
\frac{N}{N_0} = 10^{-t/D}.
  • Se todo o fluido tiver o mesmo tempo de permanência t, então a fração sobrevivente global é 10^{-t/D} e o logaritmo decimal de redução (SV) é
\mathrm{SV} = -\log_{10}\left(\frac{N}{N_0}\right) = \frac{t}{D}.
Aplicando ao caso (a) com o tempo médio:
\mathrm{SV}_{\text{média}} = \frac{\tau_{\text{m}}}{D} = \frac{26{,}58\\ \mathrm{s}}{9{,}7\\ \mathrm{s}} \approx 2{,}739 \approx 2{,}74.é
Interpretação: isso corresponde a dizer que, se todo o produto tivesse permanência igual ao tempo médio, teríamos cerca de 2{,}74 log de redução.

Passo 4

Caso (b): usar a velocidade máxima (centro do perfil parabólico) como referência — entender o que isto significa e calcular.
  • Em escoamento laminar plenamente desenvolvido num tubo (perfil parabólico):
u(r) = u_{\max}\left(1-\left(\frac{r}{R}\right)^2\right).
  • A relação entre velocidade máxima e média é:
u_{\max} = 2\,u_{\text{m}}.
  • Tempo de residência para o fluido localizado exatamente no centro (velocidade máxima):
\tau_{\max} = \frac{L}{u_{\max}} = \frac{L}{2 u_{\text{m}}} = \frac{\tau_{\text{m}}}{2}.
  • Logo o SV calculado com a velocidade máxima (isto é, supondo que todo o fluido percorre o tubo à velocidade máxima, uma hipótese conservadora do ponto de vista de menor esterilização) é:
\mathrm{SV}_{\max} = \frac{\tau_{\max}}{D} = \frac{\tau_{\text{m}}}{2D} = \frac{26{,}58}{2\cdot 9{,}7} \approx 1{,}369 \approx 1{,}37.
Interpretação: isso corresponde a subestimar a inativação (porque usa o menor tempo de permanência entre os fluidos que efetivamente passam mais rápido).

Passo 5

Caso (c): calcular o SV considerando o perfil de velocidade real (parabólico). Agora precisamos computar a fração sobrevivente global e daí o SV global.
  • Estratégia didática: cada “fatia” anular do fluido, localizada a raio r com espessura dr, tem velocidade u(r) e contribui para o fluxo com dQ = u(r)\,2\pi r\,dr. A fração sobrevivente dessa fatia depois de percorrer o tubo é 10^{-t(r)/D} com t(r)=L/u(r). A fração sobrevivente total (pesada pelo fluxo que chega à saída) é a média ponderada pela contribuição de fluxo:
S \equiv \frac{N}{N_0}\Big|_{\text{saída}} = \frac{1}{Q}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,10^{-L/(u(r)D)}\,dr.í
  • O SV global é então
\mathrm{SV} = -\log_{10}(S).
Agora vamos simplificar a integral usando o perfil parabólico e não fazer passos confusos: coloque x = r/R (variável adimensional, 0\le x\le1).
  • Escrevendo o perfil com u_{\max}=2u_{\text{m}}:
u(r) = 2u_{\text{m}}(1-x^2).
  • Substituindo na expressão de S e simplificando (mostro a manipulação algébrica):
\begin{aligned} S &= \frac{1}{Q}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,10^{-L/(u(r)D)}\,dr = \frac{1}{u_{\text{m}}\pi R^2}\int_{0}^{R} u(r)\,2\pi r\,10^{-L/(u(r)D)}\,dr \\\ &= \frac{2}{u_{\text{m}}R^2}\int_{0}^{R} r\,u(r)\,10^{-L/(u(r)D)}\,dr. \end{aligned}
Fazendo r=Rx e dr=R\,dx:
\begin{aligned} S &= \frac{2}{u_{\text{m}}R^2}\int_{0}^{1} (R x)\,u(Rx)\,10^{-L/(u(Rx)D)}\,R\,dx = \frac{2R^2}{u_{\text{m}}R^2}\int_{0}^{1} x\,u(Rx)\,10^{-L/(u(Rx)D)}\,dx \\\ &= 2\int_{0}^{1} x\cdot \frac{u(Rx)}{u_{\text{m}}}\,10^{-L/(u(Rx)D)}\,dx. \end{aligned}
Substituindo u(Rx)=2u_{\text{m}}(1-x^2):
S = 2\int_{0}^{1} x\cdot \bigl(2(1-x^2)\bigr)\,10^{-L/(2u_{\text{m}}(1-x^2)D)}\,dx = 4\int_{0}^{1} x(1-x^2)\,10^{-\dfrac{A}{1-x^2}}\,dx,
onde definimos, para simplificar, a constante adimensional
A \equiv \frac{L}{2u_{\text{m}}D} = \frac{\tau_{\text{m}}}{2D}.
Observação útil: A é numericamente igual ao \mathrm{SV}_{\max} que calculamos no Passo 4 (pois \mathrm{SV}_{\max}=\tau_{\max}/D=(\tau_{\text{m}}/2)/D). Usaremos isso.

Passo 6

Avaliação numérica da integral para obter S e daí \mathrm{SV}. Vou calcular A numericamente e fazer uma integração numérica simples (Simpson) bem explicada.
  • Calcular A:
A = \frac{\tau_{\text{m}}}{2D} = \frac{26{,}58}{2\cdot 9{,}7} \approx 1{,}369.
  • Temos então
S = 4\int_{0}^{1} x(1-x^2)\,10^{-A/(1-x^2)}\,dx.
Para integrar numericamente eu avalio a função
f(x) = 4\,x(1-x^2)\,10^{-A/(1-x^2)}
em pontos de x no intervalo [0,1] e aplico a regra de Simpson com passo h=0{,}125 (8 subintervalos). Abaixo mostro os valores calculados (arredondei, mas mantive precisão suficiente):
Tabela de avaliação (mostro apenas os valores relevantes):
\begin{array}{c|c|c} x & 1-x^2 & f(x)=4x(1-x^2)10^{-A/(1-x^2)} \\\ \hline 0{,}000 & 1{,}000000 & 0{,}000000 \\\\ 0{,}125 & 0{,}984375 & 0{,}01993 \\\\ 0{,}250 & 0{,}937500 & 0{,}03245 \\\\ 0{,}375 & 0{,}859375 & 0{,}03301 \\\\ 0{,}500 & 0{,}750000 & 0{,}02250 \\\\ 0{,}625 & 0{,}609375 & 0{,}00862 \\\\ 0{,}750 & 0{,}437500 & 0{,}000974 \\\\ 0{,}875 & 0{,}234375 & 0{,}00000119 \\\\ 1{,}000 & 0{,}000000 & 0{,}000000 \end{array}
  • Aplicando Simpson ( h=0{,}125):
S \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(0)+f(1)+4\sum_{\text{ímpares}} f + 2\sum_{\text{pares}} f\Bigr].í
Substituindo os números (resumo das somas):
4\sum_{\text{ímpares}} f = 0{,}246245,\qquad 2\sum_{\text{pares}} f = 0{,}111848.í
Portanto
S \approx \frac{0{,}125}{3}\cdot 0{,}358093 \approx 0{,}0149205.
  • Finalmente o SV:
\mathrm{SV}_{\text{perfil}} = -\log_{10}(S) = -\log_{10}(0{,}0149205) \approx 1{,}826 \approx 1{,}82.
Explicação curta: a integral representa a média ponderada (pelo fluxo) das frações sobreviventes em cada anel; o resultado mostra que a inativação efetiva, levando em conta fluidos lentos próximos à parede (que permanecem mais tempo e, portanto, ajudam a esterilizar), fica entre os dois extremos calculados nos itens (a) e (b).

Resposta

a) \mathrm{SV}=2{,}74
b) \mathrm{SV}=1{,}37
c) \mathrm{SV}=1{,}82

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