Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Câmpus Toledo
Esterilização de equipamentos, meios e ar em bioprocesso
CÁMPUS TOLEDO
Prof. Luís Felipe Minozzo Figueiredo
Um esterilizador contínuo opera com vapor direto a uma vazão de 1,5 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1} e resfriamento tipo flash para fornecer meio estéril a um fermentador. A temperatura medida no final do tubo de retenção é de 130{ }^{\circ} \mathrm{C}. Sabendo que a concentração de contaminantes é de 10^{5} \mathrm{~mL}^{-1}, e que a condição aceitável é de 1 contaminação a cada 3 meses. A constante de Arrhenius é de 7,5 \times 10^{39} \mathrm{~h}^{-1} \mathrm{e} a energia de ativação para morte térmica é de 288,5 \mathrm{kJ.mol}^{-1}. O diâmetro interno da tubulação é de 12 cm e , na temperatura de processo, a densidade do meio é 1000 \mathrm{~kg} . \mathrm{m}^{-3} e a viscosidade é de 4 \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~h}^{-1}. Assumindo que a temperatura na tubulação é constante, calcule:
a) Assumindo um plug-flow perfeito, determine o comprimento da seção de retenção.
[Respostas: \mathrm{L}_{\text {plug-flow }}=14,2 \mathrm{~m} ]
b) Qual o comprimento de tubo necessário quando os efeitos de dispersão são considerados?

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois comprimentos de tubulação que garantam esterilidade do meio fornecido por um esterilizador contínuo com resfriamento tipo flash, usando as informações dadas no enunciado.
Informações relevantes fornecidas (vou listar todas, com as unidades originais):
  • Vazão volumétrica do vapor/fluido: 1{,}5\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Temperatura no final do tubo de retenção: 130{ }^\circ\mathrm{C}.
  • Concentração inicial de contaminantes: 10^{5}\\ \mathrm{mL}^{-1}.
  • Condição aceitável: 1 contaminação a cada 3 meses.
  • Parâmetros de Arrhenius para a morte térmica: constante pré-exponencial k_0 = 7{,}5\times 10^{39}\\ \mathrm{h}^{-1} e energia de ativação E_a = 288{,}5\\ \mathrm{kJ}\cdot\mathrm{mol}^{-1} (vou converter para 288500\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}).
  • Diâmetro interno da tubulação: 0{,}12\\ \mathrm{m}.
  • Densidade do meio à temperatura de processo: \rho = 1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}.
  • Viscosidade dinâmica (dada em unidades horárias): \mu = 4\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{h}^{-1}. (quando necessário eu converto para \mathrm{Pa}\cdot\mathrm{s} ou uso unidades consistentes em hora).
  • Assumir temperatura constante ao longo da tubulação.
  • Deve-se calcular:
    a) comprimento da seção de retenção assumindo fluxo tipo plug-flow perfeito;
    b) comprimento necessário considerando efeitos de dispersão axial.
Observações que já extraio do enunciado e que vou usar sem perguntar:
  • Vou tomar “3 meses” como 90 dias = 90\cdot 24 = 2160\\ \mathrm{h} para conversão de tempo.
  • Toda matemática será feita com as fórmulas e passos explicados, sem pular etapas.

Passo 2

Entender a cinética de morte térmica e calcular a constante de velocidade k à temperatura do processo.
Teoria básica (explicada como se estivéssemos na prova):
  • Para mortes microbianas por calor, costuma-se modelar a queda da concentração como uma cinética de primeira ordem: \frac{dN}{dt} = -k(T)\,N,onde N é a concentração de sobreviventes e k(T) é a constante de morte a temperatura T.
  • A solução dessa equação (integração simples) dá: N(t) = N_0 \exp\big(-k(T)\,t\big).Aqui N_0 é a concentração inicial e t o tempo de exposição (tempo de residência).
  • A dependência de k com a temperatura é dada pela equação de Arrhenius: k(T) = k_0 \exp\!\left(-\frac{E_a}{R\,T}\right),onde:
    • k_0 é a constante pré-exponencial ( \mathrm{h}^{-1} neste caso),
    • E_a é a energia de ativação em \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1},
    • R é a constante universal dos gases ( R = 8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}),
    • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Agora aplicando aos números do enunciado:
  • Converter a temperatura: 130{ }^\circ\mathrm{C} = 130 + 273{,}15 = 403{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Calcular o expoente de Arrhenius: \frac{E_a}{R\,T} = \frac{288500\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}}{8{,}314\\ \mathrm{J}\cdot\mathrm{mol}^{-1}\cdot\mathrm{K}^{-1}\times 403{,}15\\ \mathrm{K}}.Faço a conta passo a passo: 8{,}314\times 403{,}15 \approx 3351{,}79,
\frac{288500}{3351{,}79} \approx 86{,}064.
Então o fator exponencial é \exp(-86{,}064), um número muito pequeno.
  • Calcular k(T): k = 7{,}5\times 10^{39}\\ \mathrm{h}^{-1}\times \exp(-86{,}064) \approx 3{,}13\times 10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1}.(Realizando a multiplicação: \exp(-86{,}064)\approx 4{,}17\times 10^{-38}; multiplicando por 7{,}5\times 10^{39} dá aproximadamente 3{,}13\times 10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1}.)
Resumo desta etapa: a constante de morte térmica à 130{ }^\circ\mathrm{C} é aproximadamente
k \approx 3{,}13\times 10^{2}\\ \mathrm{h}^{-1}.

Passo 3

Determinar a redução necessária de contaminantes (fator de redução) a partir da condição aceitável (1 contaminação a cada 3 meses).
Explicação passo a passo:
  • A vazão Q em \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} pode ser convertida para \mathrm{mL}\cdot\mathrm{h}^{-1} porque a concentração inicial está em \mathrm{mL}^{-1}.
  • 1\\ \mathrm{m}^3 = 10^{6}\\ \mathrm{mL}. Assim: Q = 1{,}5\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1} = 1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{mL}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Volume total fornecido em 3 meses ( =2160\\ \mathrm{h}): V_{\text{total}} = Q \times t = 1{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{mL}\cdot\mathrm{h}^{-1}\times 2160\\ \mathrm{h} = 3{,}24\times 10^{9}\\ \mathrm{mL}.
  • Se aceitarmos no máximo 1 organismo viável entrando no total desse volume, então a concentração permitida média é: C_{\text{permitida}} = \frac{1}{V_{\text{total}}} = \frac{1}{3{,}24\times 10^{9}}\\ \mathrm{mL}^{-1} \approx 3{,}086\times 10^{-10}\\ \mathrm{mL}^{-1}.
  • A redução necessária (fator de redução R) é a razão entre a concentração inicial e a permitida: R = \frac{C_0}{C_{\text{permitida}}} = \frac{10^{5}}{3{,}086\times 10^{-10}} \approx 3{,}24\times 10^{14}.
  • Em termos de log (útil depois), \ln R \approx \ln(3{,}24\times 10^{14}) \approx 33{,}411.

Passo 4

Calcular o tempo de residência necessário (assumindo plug-flow perfeito) e transformar em comprimento de tubo.
Teoria e fórmula:
  • No plug-flow com cinética de primeira ordem, a redução é: \frac{N(t)}{N_0} = \exp(-k\,\tau),onde \tau é o tempo de residência. Para obter o fator R temos: R = \exp(k\,\tau) \quad\Rightarrow\quad \tau = \frac{\ln R}{k}.
  • Uma vez obtido \tau, o comprimento L do tubo para fluxo plug é dado por \tau = \frac{L}{u},onde u é a velocidade média do fluido no tubo e u = \dfrac{Q}{A}, com A área da seção transversal.
Cálculos numéricos:
  • Tempo de residência (em horas): \tau = \frac{\ln R}{k} = \frac{33{,}411}{3{,}13\times 10^{2}}\\ \mathrm{h} \approx 0{,}1067\\ \mathrm{h}.Convertendo para minutos: 0{,}1067\\ \mathrm{h}\times 60 \approx 6{,}40\\ \mathrm{min}.
  • Área da seção transversal do tubo: A = \frac{\pi d^{2}}{4} = \frac{\pi (0{,}12)^2}{4} = \pi\times 0{,}0036 \approx 0{,}0113097\\ \mathrm{m}^2.
  • Velocidade média u (em \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1} para manter k em \mathrm{h}^{-1}): u = \frac{Q}{A} = \frac{1{,}5\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1}}{0{,}0113097\\ \mathrm{m}^2} \approx 132{,}666\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1}.
  • Comprimento necessário: L_{\text{plug}} = u\,\tau \approx 132{,}666\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1}\times 0{,}1067\\ \mathrm{h} \approx 14{,}17\\ \mathrm{m}.
Arredondando conforme enunciado, temos L_{\text{plug-flow}}\approx 14{,}2\\ \mathrm{m}, que bate com a resposta esperada.

Passo 5

Incluir efeitos de dispersão axial: modelo e cálculo do comprimento quando há dispersão.
Teoria didática:
  • Quando há dispersão axial além da advecção, o balanço de massa estacionário para concentração C(x) (com reação de primeira ordem) no eixo x é: D\,\frac{d^{2}C}{dx^{2}} - u\,\frac{dC}{dx} - k\,C = 0,onde D é o coeficiente de dispersão axial (unidade \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}^{-1} se u está em \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1} e k em \mathrm{h}^{-1}).
  • A equação característica para esta ODE linear de coeficientes constantes é: D r^{2} - u r - k = 0,com raízes r_{1,2} = \frac{u \pm \sqrt{u^{2} + 4 D k}}{2D}.A solução que não explode para x\to\infty (assumindo entrada em x=0 e decaimento para frente) é proporcional a \exp(r_2 x) com r_2 = \frac{u - \sqrt{u^{2} + 4 D k}}{2D}\quad(\text{note que }r_2<0).
  • Assim a redução ao comprimento L é: \frac{C(L)}{C_0} = \exp\big(r_2\,L\big).Para obter o fator R desejado precisamos que \exp(r_2 L) = 1/R, ou seja L = \frac{\ln R}{-r_2} = \frac{\ln R}{\displaystyle \frac{\sqrt{u^{2}+4 D k}-u}{2D}} = \frac{2D\ln R}{\sqrt{u^{2}+4 D k}-u}.Esta fórmula reduz-se ao caso plug-flow quando D\to 0 (verificação por expansão em série).
Como obter D?
  • D (coeficiente de dispersão axial) depende do regime de escoamento (laminar/turbulento) e de propriedades do fluido. Uma via prática em engenharia é usar correlações empíricas que expressam D como proporcional a u d vezes um fator adimensional que varia tipicamente entre 10^{-2} e 10^{-1} para tubos (valor influenciado pelo regime de escoamento).
  • Para escolher um valor razoável precisamos saber o regime: calculamos o número de Reynolds \mathrm{Re} = \frac{\rho u d}{\mu}.Observação sobre unidades: como \mu foi dado em \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{h}^{-1} e u em \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1}, posso manter as unidades horárias consistentemente (o fator de conversão para \mathrm{s} cancela se usado corretamente). Faço o cálculo direto nas unidades dadas: \mathrm{Re} = \frac{1000\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-3}\times 132{,}666\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1}\times 0{,}12\\ \mathrm{m}}{4\\ \mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^{-1}\cdot\mathrm{h}^{-1}}.Passo a passo: 1000\times 132{,}666\times 0{,}12 \approx 15{,}919{,}9,
\mathrm{Re} \approx \frac{15{,}919{,}9}{4} \approx 3{,}980.
  • Conclusão: \mathrm{Re}\approx 3980, portanto o escoamento está no regime de transição/turbulento (valor perto de 4000). Em escoamentos turbulentos em tubos, correlações empíricas costumam dar D \approx \alpha\,u\,d com \alpha na faixa de 0{,}01 a 0{,}05 (dependendo da rugosidade, Re, etc.). Para sermos práticos e conservadores, escolhemos um valor típico moderado \alpha = 0{,}02 (isto é razoável para fluxo próximo da transição e dá uma estimativa de ordem de grandeza; se a planta tem dados experimentais usar-se-ia esse valor).
Cálculo de D com \alpha = 0{,}02:
  • Lembrando u=132{,}666\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{h}^{-1} e d=0{,}12\\ \mathrm{m}: D = \alpha\,u\,d = 0{,}02\times 132{,}666\times 0{,}12 \approx 0{,}3184\\ \mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}^{-1}.
Agora uso a fórmula para L:
  • Calcular \sqrt{u^{2} + 4 D k}: u^{2} \approx (132{,}666)^2 \approx 17{,}605{,}9\\ (\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}^{-2}),
4 D k \approx 4\times 0{,}3184\times 313 \approx 398{,}4.
\sqrt{u^{2}+4 D k} \approx \sqrt{17{,}605{,}9 + 398{,}4} = \sqrt{18{,}004{,}3} \approx 134{,}166.
  • Calcular r_2: r_2 = \frac{u - \sqrt{u^{2}+4 D k}}{2D} = \frac{132{,}666 - 134{,}166}{2\times 0{,}3184} \approx \frac{-1{,}500}{0{,}6368} \approx -2{,}357\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Finalmente, L_{\text{disp}} = \frac{\ln R}{-r_2} = \frac{33{,}411}{2{,}357} \approx 14{,}17\\ \mathrm{m}.
Interpretação e comentário amigável:
  • Com a escolha razoável de \alpha=0{,}02 (correlação empírica para dispersão axial em regime próximo ao turbulento), o comprimento necessário considerando dispersão axial dá praticamente o mesmo valor calculado para plug-flow: L_{\text{disp}}\approx 14{,}17\\ \mathrm{m}.
  • Isso acontece porque, numericamente, o termo u^2 domina em relação a 4 D k (ou seja, a advecção é muito forte comparada ao efeito dispersivo para os parâmetros e taxa k usados), de modo que a dispersão axial tem efeito pequeno sobre o comprimento necessário. Em termos práticos, o plug-flow já é uma boa aproximação neste caso.
  • Se houvesse um valor experimental de D muito maior (por ex. por mistura intensa turbulenta ou irregularidades), o comprimento pedido aumentaria, e então seria preciso recalcular com o D medido.

Resposta

\mathrm{L}_{\text{plug-flow}}=14{,}2\\ \mathrm{m}
\mathrm{L}_{\text{considerando dispersão}}=14{,}2\\ \mathrm{m}ã

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