Mostre que:
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações dadas/assumidas:
-
e são campos vetoriais suficientemente suaves (dados diferenciáveis). - A notação
é o operador vetorial de derivadas parciais nas coordenadas . - Vou mostrar a identidade usando componentes (notação de índices) e a símbolo de Levi-Civita
. Não se preocupe se isso parecer novo: vou explicar passo a passo o que cada coisa significa.
Passo 2
Definições e notação (explicadas):
- Componentes dos vetores:
, . - Derivadas parciais:
. Índices tomam os valores . - Convenção de Einstein: repetição de um índice indica soma sobre
. Ex.: . - Produto vetorial em componentes: o componente
-ésimo de é
onde
é o símbolo de Levi-Civita (ou sinal de permutação), que vale
para permutações pares de
,
para permutações ímpares e
se quaisquer dois índices são iguais.
- Divergência em componentes: para um campo
,
- Rotacional (curl) em componentes: o componente
-ésimo de é
Essas fórmulas são padrão e equivalem às fórmulas coordenadas em
. Vou usá-las para expandir o lado esquerdo e transformar até aparecer o lado direito.
Passo 3
Calcular a divergência do produto vetorial em componentes:
Como
é constante (não depende das coordenadas), pode sair da derivada:
Passo 4
Aplicar a regra do produto (derivada de produto) dentro da soma:
Logo
Separando em duas parcelas (chamo de
e
):
Passo 5
Tratar
. Usar que
é invariante por permutação cíclica dos índices, em particular
. Então
Mas a definição do rotacional em componentes dá
Portanto
Passo 6
Tratar
. Faço uma renomeação de índices (índices repetidos são dummies, posso trocar os nomes): troco
. Assim
Agora uso a propriedade de antissimetria do símbolo de Levi-Civita: trocar os dois primeiros índices muda o sinal, logo
. Assim
Mas
é exatamente o componente
-ésimo de
, isto é
. Então
Passo 7
Juntando
e
:
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida. Observações finais: a prova usou apenas as fórmulas em componentes do produto vetorial, divergência e rotacional, a regra do produto para derivadas parciais e as simetrias/antissimetria do símbolo de Levi-Civita. Se preferir, dá para verificar essa identidade expandindo explicitamente em coordenadas
(fazer as nove parcelas) — é mais trabalhoso mas é a mesma ideia.