Mostre que:
(b) \nabla \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot(\nabla \times \mathbf{u})-\mathbf{u} \cdot(\nabla \times \mathbf{v}).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\nabla \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot(\nabla \times \mathbf{u})-\mathbf{u} \cdot(\nabla \times \mathbf{v}).
Informações dadas/assumidas:
  • \mathbf{u}=\mathbf{u}(x_1,x_2,x_3) e \mathbf{v}=\mathbf{v}(x_1,x_2,x_3) são campos vetoriais suficientemente suaves (dados diferenciáveis).
  • A notação \nabla é o operador vetorial de derivadas parciais nas coordenadas x_1,x_2,x_3.
  • Vou mostrar a identidade usando componentes (notação de índices) e a símbolo de Levi-Civita \varepsilon_{ijk}. Não se preocupe se isso parecer novo: vou explicar passo a passo o que cada coisa significa.

Passo 2

Definições e notação (explicadas):
  • Componentes dos vetores: \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3), \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3).
  • Derivadas parciais: \partial_i=\dfrac{\partial}{\partial x_i}. Índices i,j,k,\dots tomam os valores 1,2,3.
  • Convenção de Einstein: repetição de um índice indica soma sobre 1,2,3. Ex.: a_i b_i = \sum_{i=1}^3 a_i b_i.
  • Produto vetorial em componentes: o componente i-ésimo de \mathbf{u}\times\mathbf{v} é
(\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i=\varepsilon_{ijk}\,u_j\,v_k,
onde \varepsilon_{ijk} é o símbolo de Levi-Civita (ou sinal de permutação), que vale +1 para permutações pares de (1,2,3), -1 para permutações ímpares e 0 se quaisquer dois índices são iguais.
  • Divergência em componentes: para um campo \mathbf{w},
\nabla\cdot\mathbf{w}=\partial_i w_i.
  • Rotacional (curl) em componentes: o componente i-ésimo de \nabla\times\mathbf{u} é
(\nabla\times\mathbf{u})_i=\varepsilon_{ijk}\,\partial_j u_k.
Essas fórmulas são padrão e equivalem às fórmulas coordenadas em (x,y,z). Vou usá-las para expandir o lado esquerdo e transformar até aparecer o lado direito.

Passo 3

Calcular a divergência do produto vetorial em componentes:
\nabla\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\partial_i\big((\mathbf{u}\times\mathbf{v})_i\big) =\partial_i\big(\varepsilon_{ijk}\,u_j\,v_k\big).
Como \varepsilon_{ijk} é constante (não depende das coordenadas), pode sair da derivada:
\nabla\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) =\varepsilon_{ijk}\,\partial_i\big(u_j\,v_k\big).

Passo 4

Aplicar a regra do produto (derivada de produto) dentro da soma:
\partial_i(u_j v_k)=(\partial_i u_j)\,v_k + u_j\,(\partial_i v_k).
Logo
\nabla\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) =\varepsilon_{ijk}\big((\partial_i u_j)\,v_k + u_j\,(\partial_i v_k)\big).
Separando em duas parcelas (chamo de T_1 e T_2):
\nabla\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=T_1+T_2, \qquad T_1=\varepsilon_{ijk}(\partial_i u_j)\,v_k, \qquad T_2=\varepsilon_{ijk}u_j(\partial_i v_k).

Passo 5

Tratar T_1. Usar que \varepsilon_{ijk} é invariante por permutação cíclica dos índices, em particular \varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij}. Então
T_1=\varepsilon_{ijk}(\partial_i u_j)\,v_k = v_k\,\varepsilon_{kij}\,\partial_i u_j.
Mas a definição do rotacional em componentes dá
(\nabla\times\mathbf{u})_k=\varepsilon_{kij}\,\partial_i u_j.
Portanto
T_1=v_k\,(\nabla\times\mathbf{u})_k=\mathbf{v}\cdot(\nabla\times\mathbf{u}).

Passo 6

Tratar T_2. Faço uma renomeação de índices (índices repetidos são dummies, posso trocar os nomes): troco (i,j,k)\mapsto(a,m,b). Assim
T_2=\varepsilon_{amb}\,u_m\,\partial_a v_b.
Agora uso a propriedade de antissimetria do símbolo de Levi-Civita: trocar os dois primeiros índices muda o sinal, logo \varepsilon_{amb}=-\varepsilon_{mab}. Assim
T_2=\!-\,\varepsilon_{mab}\,u_m\,\partial_a v_b.
Mas \varepsilon_{mab}\,\partial_a v_b é exatamente o componente m-ésimo de \nabla\times\mathbf{v}, isto é (\nabla\times\mathbf{v})_m=\varepsilon_{mab}\partial_a v_b. Então
T_2=-\,u_m\,(\nabla\times\mathbf{v})_m=-\mathbf{u}\cdot(\nabla\times\mathbf{v}).

Passo 7

Juntando T_1 e T_2:
\nabla\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot(\nabla\times\mathbf{u})-\mathbf{u}\cdot(\nabla\times\mathbf{v}).
Pronto — chegamos exatamente à identidade pedida. Observações finais: a prova usou apenas as fórmulas em componentes do produto vetorial, divergência e rotacional, a regra do produto para derivadas parciais e as simetrias/antissimetria do símbolo de Levi-Civita. Se preferir, dá para verificar essa identidade expandindo explicitamente em coordenadas x,y,z (fazer as nove parcelas) — é mais trabalhoso mas é a mesma ideia.

Resposta

\nabla \cdot(\mathbf{u} \times \mathbf{v})=\mathbf{v} \cdot(\nabla \times \mathbf{u})-\mathbf{u} \cdot(\nabla \times \mathbf{v})

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