em que
é o coeficiente de dilatação linear,
é o comprimento inicial da barra e
é a variação da temperatura da barra, determine:
A variação do volume (
) de um cubo de aresta
.
A variação do volume (
Passo 1
Vamos dizer claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
- Pedido: determinar a variação do volume
de um cubo de aresta quando a temperatura varia . - Informações dadas (pegas do enunciado):
-
é o coeficiente de dilatação linear (unidade típica: ou ). -
é a aresta inicial do cubo (comprimento). -
é a variação de temperatura.
-
- Objetivo prático: encontrar
em função de , e .
Passo 2
Entender a dilatação linear: como muda uma aresta do cubo quando a temperatura muda.
A dilatação linear diz que, se uma barra de comprimento inicial
sofre uma variação de temperatura
, o novo comprimento
é dado por
Explicando as letras:
-
é o comprimento inicial; -
é o coeficiente de dilatação linear (quanto de comprimento aumenta por unidade de comprimento por grau); -
é a variação de temperatura; -
é o comprimento após o aquecimento/resfriamento.
No nosso caso a aresta inicial do cubo é
. Aplicando a fórmula, a aresta após a variação térmica passa a ser
Passo 3
Calcular o volume inicial e o volume final do cubo.
Volume inicial:
Volume final (usar
em cada aresta):
Passo 4
Desenvolver a expressão do volume final usando o binômio de Newton.
Usando a identidade
com
, obtemos
Passo 5
Obter a variação do volume
como diferença entre volume final e inicial.
Essa expressão é a fórmula exata (para o modelo de dilatação linear aplicado a cada aresta do cubo).
Passo 6
Fazer a aproximação linear (útil em prova e na prática): por que podemos simplificar?
Na prática
costuma ser um número muito pequeno (por exemplo
e
não costuma ser enorme), então os termos quadrático e cúbico são desprezíveis. Mantendo apenas o termo dominante em
obtemos a aproximação linear
Também se escreve usando
:
Dica de prova: se o enunciado pedir ordem de grandeza ou a resposta para temperatura pequena, use essa forma aproximada; se pedir exatidão, forneça a expressão desenvolvida com os termos de ordem superior.
Passo 7
Resumo rápido de uso na prova (como aplicar sem calculadora):
- Calcule
. - Se quiser a expressão exata, use
. - Se for temperatura razoável (caso usual), use
— isso é simples, rápido e geralmente suficiente.
Força aí — você já tem a fórmula exata e a aproximação prática. Se precisar, mostro um exemplo numérico passo a passo.