em que \alpha é o coeficiente de dilatação linear, l_{0} é o comprimento inicial da barra e \Delta \theta é a variação da temperatura da barra, determine:
A variação do volume ( \Delta V ) de um cubo de aresta a.

Passo 1

Vamos dizer claramente o que o enunciado pede e quais informações temos.
  • Pedido: determinar a variação do volume \Delta V de um cubo de aresta a quando a temperatura varia \Delta \theta.
  • Informações dadas (pegas do enunciado):
    • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (unidade típica: \mathrm{K^{-1}} ou \mathrm{^\circ C^{-1}}).
    • a é a aresta inicial do cubo (comprimento).
    • \Delta \theta é a variação de temperatura.
  • Objetivo prático: encontrar \Delta V em função de \alpha, a e \Delta\theta.

Passo 2

Entender a dilatação linear: como muda uma aresta do cubo quando a temperatura muda.
A dilatação linear diz que, se uma barra de comprimento inicial l_{0} sofre uma variação de temperatura \Delta\theta, o novo comprimento l é dado por
l = l_{0}\big(1+\alpha\Delta\theta\big).
Explicando as letras:
  • l_{0} é o comprimento inicial;
  • \alpha é o coeficiente de dilatação linear (quanto de comprimento aumenta por unidade de comprimento por grau);
  • \Delta\theta é a variação de temperatura;
  • l é o comprimento após o aquecimento/resfriamento.
No nosso caso a aresta inicial do cubo é a. Aplicando a fórmula, a aresta após a variação térmica passa a ser
a' = a\big(1+\alpha\Delta\theta\big).

Passo 3

Calcular o volume inicial e o volume final do cubo.
Volume inicial:
V_{0} = a^{3}.
Volume final (usar a' em cada aresta):
V' = (a')^{3} = \big(a(1+\alpha\Delta\theta)\big)^{3}.

Passo 4

Desenvolver a expressão do volume final usando o binômio de Newton.
Usando a identidade (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3} com x=\alpha\Delta\theta, obtemos
V' = a^{3}\big(1+\alpha\Delta\theta\big)^{3} = a^{3}\Big(1+3\alpha\Delta\theta+3(\alpha\Delta\theta)^{2}+(\alpha\Delta\theta)^{3}\Big).

Passo 5

Obter a variação do volume \Delta V como diferença entre volume final e inicial.
\Delta V = V' - V_{0} = a^{3}\Big(3\alpha\Delta\theta+3(\alpha\Delta\theta)^{2}+(\alpha\Delta\theta)^{3}\Big).
Essa expressão é a fórmula exata (para o modelo de dilatação linear aplicado a cada aresta do cubo).

Passo 6

Fazer a aproximação linear (útil em prova e na prática): por que podemos simplificar?
Na prática \alpha\Delta\theta costuma ser um número muito pequeno (por exemplo \alpha\sim10^{-5}\\ \mathrm{K^{-1}} e \Delta\theta não costuma ser enorme), então os termos quadrático e cúbico são desprezíveis. Mantendo apenas o termo dominante em \alpha\Delta\theta obtemos a aproximação linear
\Delta V \approx 3\alpha a^{3}\Delta\theta.
Também se escreve usando V_{0}=a^{3}:
\Delta V \approx 3\alpha V_{0}\Delta\theta.
Dica de prova: se o enunciado pedir ordem de grandeza ou a resposta para temperatura pequena, use essa forma aproximada; se pedir exatidão, forneça a expressão desenvolvida com os termos de ordem superior.

Passo 7

Resumo rápido de uso na prova (como aplicar sem calculadora):
  • Calcule V_{0}=a^{3}.
  • Se quiser a expressão exata, use \Delta V = a^{3}\big(3\alpha\Delta\theta+3(\alpha\Delta\theta)^{2}+(\alpha\Delta\theta)^{3}\big).
  • Se for temperatura razoável (caso usual), use \Delta V \approx 3\alpha a^{3}\Delta\theta — isso é simples, rápido e geralmente suficiente.
Força aí — você já tem a fórmula exata e a aproximação prática. Se precisar, mostro um exemplo numérico passo a passo.

Resposta

\Delta V = a^{3}\Big(3\alpha\Delta\theta+3(\alpha\Delta\theta)^{2}+(\alpha\Delta\theta)^{3}\Big)
\Delta V \approx 3\alpha a^{3}\Delta\theta = 3\alpha V_{0}\Delta\theta

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