(\mathbf{2 , 0}) Um bloco de 4,0 \mathrm{~kg} sobe um plano de 30^{\circ} de inclinação com uma energia cinética de 300 J. a) (1,0) Supondo um coeficiente de atrito igual a 0,4 calcule a distância que ele percorrerá. b) (1,0) Com que velocidade ele volta para a base do plano?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • Massa: m=4{,}0\\ \mathrm{kg}.
    • Energia cinética inicial: K_0=300\\ \mathrm{J}.
    • Inclinação do plano: \theta=30^\circ.
    • Coeficiente de atrito (cinético): \mu=0{,}4.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} (usar como valor padrão).
  • O que é pedido:
    a) (1,0) Calcular a distância d que o bloco percorre subindo o plano até parar.
    b) (1,0) Calcular a velocidade com que ele volta (ou seja, a velocidade ao atingir a base ao descer).

Passo 2

Entendendo fisicamente e escolhendo método (aula rápida e amiga).
  • Quando o bloco sobe, sua energia cinética inicial é consumida para:
    1. Aumentar a energia potencial gravitacional (subir em altura).
    2. Vencer o atrito que dissipa energia em calor.
  • A forma mais direta é usar conservação de energia (contabilizando a energia dissipada pelo atrito). Ou seja:
    • Energia inicial: K_0.
    • Energia gasta subindo: m g h, onde h é a altura vertical atingida.
    • Energia dissipada por atrito: W_{\rm atrito}=\mu N d, onde N é a normal e d é o deslocamento sobre o plano.
  • O plano tem inclinação \theta, então:
    • h=d\sin\theta.
    • A normal vale N=m g\cos\theta (porque a componente perpendicular ao plano é m g\cos\theta).
  • Assim a equação de energia durante a subida é:
K_0 = m g h + \mu N d.
Substituindo h e N teremos em função de d. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Derivando a fórmula para a distância d.
  • Substituir h=d\sin\theta e N=m g\cos\theta em
K_0 = m g h + \mu N d.
Fica:
K_0 = m g (d\sin\theta) + \mu (m g\cos\theta)\,d.
Fatorando m g d:
K_0 = m g d\bigl(\sin\theta + \mu\cos\theta\bigr).
Isolando d:
d = \dfrac{K_0}{m g\bigl(\sin\theta + \mu\cos\theta\bigr)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • d: distância sobre o plano que o bloco sobe (o que queremos).
  • K_0: energia cinética inicial.
  • m: massa.
  • g: aceleração da gravidade.
  • \theta: ângulo do plano.
  • \mu: coeficiente de atrito.

Passo 4

Calcular numericamente d. Primeiro valores trigonométricos:
\sin 30^\circ = 0{,}5,\qquad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254.
Agora substituir na fórmula:
\sin\theta + \mu\cos\theta = 0{,}5 + 0{,}4\cdot 0{,}8660254 = 0{,}5 + 0{,}34641016 = 0{,}84641016.
Calcular m g (\sin\theta + \mu\cos\theta):
m g = 4{,}0\cdot 9{,}8 = 39{,}2
m g(\sin\theta + \mu\cos\theta)=39{,}2\cdot 0{,}84641016 \approx 33{,}1793.
Finalmente
d = \dfrac{300}{33{,}1793}\approx 9{,}04\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: com a energia inicial de 300\\ \mathrm{J} o bloco sobe cerca de 9{,}04\\ \mathrm{m} ao longo do plano até parar.

Passo 5

Agora determinar a velocidade quando o bloco volta para a base (descida).
  • No ponto mais alto o bloco fica momentaneamente com velocidade zero; então, ao descer, parte da energia potencial volta a virar energia cinética, mas novamente parte é dissipada pelo atrito.
  • Aplicando energia entre o topo (altura h) e a base:
    • Energia disponível ao descer: trabalho da gravidade m g h.
    • Energia perdida por atrito no deslocamento d durante a descida: W_{\rm atrito}=\mu m g\cos\theta\,d (o atrito age sempre oposto ao movimento).
    • Energia cinética ao chegar na base:
K_{\rm final} = m g h - \mu m g\cos\theta\,d.
Substituindo h=d\sin\theta:
K_{\rm final} = m g d\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr).
Se isso fosse negativo, o bloco não alcançaria a base; aqui será positivo.

Passo 6

Calcular numericamente K_{\rm final} e então v.
  • Já calculamos d\approx 9{,}04\\ \mathrm{m}.
  • Calcular o fator \sin\theta - \mu\cos\theta:
\sin\theta - \mu\cos\theta = 0{,}5 - 0{,}4\cdot 0{,}8660254 = 0{,}5 - 0{,}34641016 = 0{,}15358984.
  • Então
K_{\rm final} = m g d\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr) = 4{,}0\cdot 9{,}8\cdot 9{,}04\cdot 0{,}15358984.
Uma forma mais direta (e que cancela m depois) é usar
v = \sqrt{\dfrac{2K_{\rm final}}{m}} = \sqrt{2 g d\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr)}.
Calculemos:
2 g d\bigl(\sin\theta - \mu\cos\theta\bigr) = 2\cdot 9{,}8\cdot 9{,}04\cdot 0{,}15358984 \approx 27{,}214\ldots
Logo
v = \sqrt{27{,}214\ldots}\approx 5{,}22\\ \mathrm{m/s}.
(Se preferir, verificar via K_{\rm final}: K_{\rm final}\approx 54{,}4\\ \mathrm{J} e v=\sqrt{2K_{\rm final}/m}=\sqrt{2\cdot54{,}4/4}\approx5{,}22\\ \mathrm{m/s}.)

Resposta

a) d=9{,}04\\ \mathrm{m}
b) v=5{,}22\\ \mathrm{m/s}

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