Um bloco de
sobe um plano de
de inclinação com uma energia cinética de 300 J. a)
Supondo um coeficiente de atrito igual a 0,4 calcule a distância que ele percorrerá. b)
Com que velocidade ele volta para a base do plano?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
- Massa:
. - Energia cinética inicial:
. - Inclinação do plano:
. - Coeficiente de atrito (cinético):
. - Aceleração da gravidade:
(usar como valor padrão).
- Massa:
- O que é pedido:
a) (1,0) Calcular a distânciaque o bloco percorre subindo o plano até parar.
b) (1,0) Calcular a velocidade com que ele volta (ou seja, a velocidade ao atingir a base ao descer).
Passo 2
Entendendo fisicamente e escolhendo método (aula rápida e amiga).
- Quando o bloco sobe, sua energia cinética inicial é consumida para:
- Aumentar a energia potencial gravitacional (subir em altura).
- Vencer o atrito que dissipa energia em calor.
- A forma mais direta é usar conservação de energia (contabilizando a energia dissipada pelo atrito). Ou seja:
- Energia inicial:
. - Energia gasta subindo:
, onde é a altura vertical atingida. - Energia dissipada por atrito:
, onde é a normal e é o deslocamento sobre o plano.
- Energia inicial:
- O plano tem inclinação
, então: -
. - A normal vale
(porque a componente perpendicular ao plano é ).
-
- Assim a equação de energia durante a subida é:
Substituindo
e
teremos em função de
. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Derivando a fórmula para a distância
.
- Substituir
e em
Fica:
Fatorando
:
Isolando
:
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância sobre o plano que o bloco sobe (o que queremos). -
: energia cinética inicial. -
: massa. -
: aceleração da gravidade. -
: ângulo do plano. -
: coeficiente de atrito.
Passo 4
Calcular numericamente
. Primeiro valores trigonométricos:
Agora substituir na fórmula:
Calcular
:
Finalmente
Interpretação rápida: com a energia inicial de
o bloco sobe cerca de
ao longo do plano até parar.
Passo 5
Agora determinar a velocidade quando o bloco volta para a base (descida).
- No ponto mais alto o bloco fica momentaneamente com velocidade zero; então, ao descer, parte da energia potencial volta a virar energia cinética, mas novamente parte é dissipada pelo atrito.
- Aplicando energia entre o topo (altura
) e a base: - Energia disponível ao descer: trabalho da gravidade
. - Energia perdida por atrito no deslocamento
durante a descida: (o atrito age sempre oposto ao movimento). - Energia cinética ao chegar na base:
- Energia disponível ao descer: trabalho da gravidade
Substituindo
:
Se isso fosse negativo, o bloco não alcançaria a base; aqui será positivo.
Passo 6
Calcular numericamente
e então
.
- Já calculamos
. - Calcular o fator
:
- Então
Uma forma mais direta (e que cancela
depois) é usar
Calculemos:
Logo
(Se preferir, verificar via
:
e
.)
Resposta
a)
b)
b)