Um corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
x(t)=\operatorname{sen}\left(\pi t-\frac{\pi}{2}\right)
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine:
a) A frequência natural de oscilação ( \omega_{0} ).
b) A constante k da mola.
c) O período de oscilação.
d) A frequência de oscilação.
e) Determine as constantes A e B se a equação acima estiver escrita na forma
x(t)=A \cos \left(\omega_{0} t\right)+B \operatorname{sen}\left(\omega_{0} t\right) .
f) A amplitude do movimento.
g) A posição do corpo no instante igual a 10 s .
h) A posição do corpo no instante inicial.
i) O instante em que o móvel se encontra na posição 3 / 5 \mathrm{~m}.
j) A energia cinética do corpo no instante inicial.
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
l) A energia total do sistema.

Passo 1

O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo:
x(t)=\operatorname{sen}\!\left(\pi t-\frac{\pi}{2}\right),
com massa m=1\\ \mathrm{kg}. O que se pede (lista clara das perguntas):
a) a frequência angular natural \omega_{0}.
b) a constante da mola k.
c) o período de oscilação T.
d) a frequência de oscilação f (ciclos por segundo).
e) as constantes A e B na forma x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\operatorname{sen}(\omega_{0}t).
f) a amplitude do movimento.
g) a posição em t=10\\ \mathrm{s}.
h) a posição no instante inicial t=0.
i) os instantes em que x(t)=\tfrac{3}{5}\\ \mathrm{m}.
j) a energia cinética no instante inicial.
k) a energia potencial elástica no instante inicial.
l) a energia total do sistema.
Informações relevantes dadas:
  • expressão explícita de x(t) (peguei isso do enunciado).
  • massa m=1\\ \mathrm{kg} (peguei isso do enunciado).

Passo 2

Identificar a frequência angular \omega_{0} a partir da forma da função.
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição tem tipicamente a forma x(t)=X_0\sin(\omega_0 t+\varphi) ou combinação de \cos e \sin. Aqui o argumento do seno é \pi t-\frac{\pi}{2}. A frequência angular é o coeficiente que multiplica t. Portanto
\omega_{0}=\pi\\ \text{rad/s}.
Explicação da ideia: em expressões como \sin(\alpha t+\beta), \alpha é a velocidade angular (rad/s) — é isso que controla quão rápido a função oscila no tempo.

Passo 3

Determinar a constante da mola k.
Para um oscilador massa-mola sem amortecimento vale a equação do movimento linearizada
m\ddot x + kx = 0,
cuja solução tem frequência angular
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Isolando k temos
k = m\omega_{0}^{2}.
Substituindo m=1 e \omega_{0}=\pi,
k = 1\cdot\pi^{2}=\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}.
Comentário didático: a relação \omega_{0}=\sqrt{k/m} vem de substituir x(t)=\cos(\omega_0 t) (ou \sin) na equação diferencial e comparar coeficientes.

Passo 4

Calcular o período de oscilação T.
A relação entre período e frequência angular é
T=\frac{2\pi}{\omega_{0}}.
Substituindo \omega_{0}=\pi,
T=\frac{2\pi}{\pi}=2\\ \mathrm{s}.
Interpretação: o período é o tempo que leva para completar uma oscilação completa.

Passo 5

Calcular a frequência de oscilação f (ciclos por segundo).
A relação é
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}.
Usando T=2\\ \mathrm{s} ou \omega_{0}=\pi,
f=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Expressar x(t) na forma A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) e encontrar A,B.
Primeiro simplifico a função dada usando identidade trigonométrica:
\sin\!\left(\pi t-\frac{\pi}{2}\right) = -\cos(\pi t).
(Verificação rápida: \sin(\theta-\pi/2)=-\cos\theta.) Assim
x(t)=-\cos(\pi t).
Queremos escrever x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) com \omega_{0}=\pi. Comparando termos:
-\cos(\pi t)=A\cos(\pi t)+B\sin(\pi t).
Igualando coeficientes dos \cos(\pi t) e \sin(\pi t),
A=-1,\qquad B=0.

Passo 7

Calcular a amplitude do movimento.
Para a forma x(t)=A\cos(\omega_{0}t)+B\sin(\omega_{0}t) a amplitude é
X_0=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
Com A=-1 e B=0,
X_0=\sqrt{(-1)^{2}+0^{2}}=1\\ \mathrm{m}.
Comentário: amplitude é o valor máximo absoluto da posição em relação ao equilíbrio.

Passo 8

Posição em t=10\\ \mathrm{s}.
Usar diretamente a expressão dada ou a forma simplificada x(t)=-\cos(\pi t). Assim
x(10)=-\cos(\pi\cdot 10)=-\cos(10\pi).
Como 10\pi=5\cdot 2\pi e \cos(2\pi n)=1 para inteiro n,
x(10)=-1\\ \mathrm{m}.

Passo 9

Posição no instante inicial t=0.
Avaliar x(0)=\sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1. Ou usando a forma simplificada,
x(0)=-\cos(0)=-1\\ \mathrm{m}.

Passo 10

Instantes em que x(t)=\tfrac{3}{5}\\ \mathrm{m}.
Resolver
\sin\!\left(\pi t-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{3}{5}.
Coloco \theta=\pi t-\frac{\pi}{2}. Então \sin\theta=\tfrac{3}{5}. As soluções gerais de \sin\theta=\alpha são
\theta=\arcsin(\alpha)+2\pi n\quad\text{ou}\quad \theta=\pi-\arcsin(\alpha)+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Aqui \alpha=\tfrac{3}{5}. Voltando para t,
\pi t-\frac{\pi}{2}=\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+2\pi n \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+\tfrac{\pi}{2}+2\pi n}{\pi},
ou
\pi t-\frac{\pi}{2}=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+2\pi n \quad\Rightarrow\quad t=\frac{\tfrac{3\pi}{2}-\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+2\pi n}{\pi}.
Simplificando, as soluções gerais são
t=\frac{\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+\tfrac{\pi}{2}}{\pi}+2n \quad\text{e}\quad t=\frac{\tfrac{3\pi}{2}-\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)}{\pi}+2n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Cálculos numéricos aproximados (uso \arcsin(0{,}6)\approx0{,}6435\\ \text{rad}):
t\approx 0{,}7049+2n\\ \mathrm{s}\quad\text{e}\quad t\approx 1{,}2951+2n\\ \mathrm{s},\quad n\in\mathbb{Z}.
Observação: o período é 2\\ \mathrm{s}, por isso as soluções se repetem a cada 2\\ \mathrm{s}.

Passo 11

Energia cinética no instante inicial t=0.
A energia cinética é
K(t)=\tfrac{1}{2}m\bigl(\dot x(t)\bigr)^{2}.
Calculo a velocidade \dot x(t). A partir de x(t)=\sin\!\left(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\right),
\dot x(t)=\pi\cos\!\left(\pi t-\tfrac{\pi}{2}\right)
(pela regra da cadeia: derivada de \sin(u) é u'\cos(u), e u'=\pi). Em t=0,
\dot x(0)=\pi\cos\!\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=\pi\cdot 0=0.
Logo
K(0)=\tfrac{1}{2}\cdot 1\cdot 0^{2}=0\\ \mathrm{J}.
Interpretação física: quando a partícula está na posição de máxima elongação (amplitude -1\\ \mathrm{m}), a velocidade é zero e toda a energia é potencial.

Passo 12

Energia potencial elástica no instante inicial t=0.
Energia potencial da mola:
U(t)=\tfrac{1}{2}k x(t)^{2}.
Em t=0, x(0)=-1 e k=\pi^{2}. Assim
U(0)=\tfrac{1}{2}\pi^{2}\cdot (-1)^{2}=\tfrac{1}{2}\pi^{2}\\ \mathrm{J}.
Valor numérico aproximado: \tfrac{1}{2}\pi^{2}\approx 4{,}9348\\ \mathrm{J}.

Passo 13

Energia total do sistema.
Para oscilador massa-mola sem perdas, a energia total é constante e dada por
E=K(t)+U(t)=\tfrac{1}{2}kX_{0}^{2}=\tfrac{1}{2}m\omega_{0}^{2}X_{0}^{2}.
Com X_{0}=1, m=1, \omega_{0}=\pi,
E=\tfrac{1}{2}\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx 4{,}9348\\ \mathrm{J}.
Isso coincide com U(0) já que K(0)=0.

Resposta

a) \omega_{0}=\pi\\ \text{rad/s}
b) k=\pi^{2}\\ \mathrm{N/m}
c) T=2\\ \mathrm{s}
d) f=0{,}5\\ \mathrm{Hz}
e) A=-1,\quad B=0
f) X_{0}=1\\ \mathrm{m}
g) x(10)=-1\\ \mathrm{m}
h) x(0)=-1\\ \mathrm{m}
i) t=\dfrac{\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)+\tfrac{\pi}{2}}{\pi}+2n\\ \mathrm{s} e t=\dfrac{\tfrac{3\pi}{2}-\arcsin\!\left(\tfrac{3}{5}\right)}{\pi}+2n\\ \mathrm{s},\\ n\in\mathbb{Z} (valores principais t\approx0{,}7049+2n s e t\approx1{,}2951+2n s)
j) K(0)=0\\ \mathrm{J}
k) U(0)=\tfrac{1}{2}\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx 4{,}9348\\ \mathrm{J}
l) E=\tfrac{1}{2}\pi^{2}\\ \mathrm{J}\approx 4{,}9348\\ \mathrm{J}

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