Um corpo de massa 1 kg é presa por uma mola e oscila em um movimento unidimensional de acordo com a equação
em que x é medido em metro e t em segundo. Determine:
a) A frequência natural de oscilação (
).
b) A constante
da mola.
c) O período de oscilação.
d) A frequência de oscilação.
e) Determine as constantes A e B se a equação acima estiver escrita na forma
f) A amplitude do movimento.
g) A posição do corpo no instante igual a 10 s .
h) A posição do corpo no instante inicial.
i) O instante em que o móvel se encontra na posição
.
j) A energia cinética do corpo no instante inicial.
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
l) A energia total do sistema.
a) A frequência natural de oscilação (
b) A constante
c) O período de oscilação.
d) A frequência de oscilação.
e) Determine as constantes A e B se a equação acima estiver escrita na forma
g) A posição do corpo no instante igual a 10 s .
h) A posição do corpo no instante inicial.
i) O instante em que o móvel se encontra na posição
j) A energia cinética do corpo no instante inicial.
k) A energia potencial do corpo no instante inicial.
l) A energia total do sistema.
Passo 1
O enunciado dá a posição do corpo em função do tempo:
com massa
. O que se pede (lista clara das perguntas):
a) a frequência angular natural .
b) a constante da mola .
c) o período de oscilação .
d) a frequência de oscilação (ciclos por segundo).
e) as constantes e
na forma
.
f) a amplitude do movimento.
g) a posição em .
h) a posição no instante inicial .
i) os instantes em que .
j) a energia cinética no instante inicial.
k) a energia potencial elástica no instante inicial.
l) a energia total do sistema.
a) a frequência angular natural
b) a constante da mola
c) o período de oscilação
d) a frequência de oscilação
e) as constantes
f) a amplitude do movimento.
g) a posição em
h) a posição no instante inicial
i) os instantes em que
j) a energia cinética no instante inicial.
k) a energia potencial elástica no instante inicial.
l) a energia total do sistema.
Informações relevantes dadas:
- expressão explícita de
(peguei isso do enunciado). - massa
(peguei isso do enunciado).
Passo 2
Identificar a frequência angular
a partir da forma da função.
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição tem tipicamente a forma ou combinação de
e
. Aqui o argumento do seno é
. A frequência angular é o coeficiente que multiplica
. Portanto
Em movimento harmônico simples (MHS) a posição tem tipicamente a forma
Explicação da ideia: em expressões como
,
é a velocidade angular (rad/s) — é isso que controla quão rápido a função oscila no tempo.
Passo 3
Determinar a constante da mola
.
Para um oscilador massa-mola sem amortecimento vale a equação do movimento linearizada
Para um oscilador massa-mola sem amortecimento vale a equação do movimento linearizada
cuja solução tem frequência angular
Isolando
temos
Substituindo
e
,
Comentário didático: a relação
vem de substituir
(ou
) na equação diferencial e comparar coeficientes.
Passo 4
Calcular o período de oscilação
.
A relação entre período e frequência angular é
A relação entre período e frequência angular é
Substituindo
,
Interpretação: o período é o tempo que leva para completar uma oscilação completa.
Passo 5
Calcular a frequência de oscilação
(ciclos por segundo).
A relação é
A relação é
Usando
ou
,
Passo 6
Expressar
na forma
e encontrar
.
Primeiro simplifico a função dada usando identidade trigonométrica:
Primeiro simplifico a função dada usando identidade trigonométrica:
(Verificação rápida:
.) Assim
Queremos escrever
com
. Comparando termos:
Igualando coeficientes dos
e
,
Passo 7
Calcular a amplitude do movimento.
Para a forma a amplitude é
Para a forma
Com
e
,
Comentário: amplitude é o valor máximo absoluto da posição em relação ao equilíbrio.
Passo 8
Posição em
.
Usar diretamente a expressão dada ou a forma simplificada . Assim
Usar diretamente a expressão dada ou a forma simplificada
Como
e
para inteiro
,
Passo 9
Posição no instante inicial
.
Avaliar . Ou usando a forma simplificada,
Avaliar
Passo 10
Instantes em que
.
Resolver
Resolver
Coloco
. Então
. As soluções gerais de
são
Aqui
. Voltando para
,
ou
Simplificando, as soluções gerais são
Cálculos numéricos aproximados (uso
):
Observação: o período é
, por isso as soluções se repetem a cada
.
Passo 11
Energia cinética no instante inicial
.
A energia cinética é
A energia cinética é
Calculo a velocidade
. A partir de
,
(pela regra da cadeia: derivada de
é
, e
). Em
,
Logo
Interpretação física: quando a partícula está na posição de máxima elongação (amplitude
), a velocidade é zero e toda a energia é potencial.
Passo 12
Energia potencial elástica no instante inicial
.
Energia potencial da mola:
Energia potencial da mola:
Em
,
e
. Assim
Valor numérico aproximado:
Passo 13
Energia total do sistema.
Para oscilador massa-mola sem perdas, a energia total é constante e dada por
Para oscilador massa-mola sem perdas, a energia total é constante e dada por
Com
,
,
,
Isso coincide com
já que
.
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i) e
(valores principais
s e
s)
j)
k)
l)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)