Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+64 x=0
]
em que
é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por
, em que
e
são constantes do movimento. Os valores de C e
são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de
é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola.
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza
Valor numérico
Unidade
k
c) Sabendo-se que
, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza
Valor numérico
Unidade
C
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período
de oscilação.
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
f) O valor da energia cinética no instante
é calculado por meio da igualdade
. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com
. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
g) A energia total do sistema vale:
______
h) Represente graficamente a função que representa a solução geral da equação diferencial do movimento. Use a figura a seguir para esboçar o gráfico e explicite nele os valores numéricos intermediários T, T/4, T/2, e 3T/4 no eixo horizontal e os seus respectivos valores numéricos de
colocados no eixo vertical.
[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+64 x=0
]
em que
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
| Grandeza | Valor numérico | Unidade |
|
|
||
| k |
| Grandeza | Valor numérico | Unidade |
| C | ||
|
|
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
|
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||
|
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|
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|
||
|
|
h) Represente graficamente a função que representa a solução geral da equação diferencial do movimento. Use a figura a seguir para esboçar o gráfico e explicite nele os valores numéricos intermediários T, T/4, T/2, e 3T/4 no eixo horizontal e os seus respectivos valores numéricos de
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar tudo com clareza (não resolvo nada ainda):
- Equação diferencial do movimento:
- Massa do corpo:
. - Solução geral fornecida:
, onde , e são constantes. - Condições iniciais (informadas mais adiante):
e . - O enunciado pede, em partes:
(a) identificar o tipo de movimento;
(b) preencher tabela come (constante elástica);
(c) obtere a partir das condições iniciais;
(d) escrever a solução com valores numéricos e calcular o período;
(e) calculare para e ;
(f) calcular energias cinéticae potencial para e (onde é o período);
(g) encontrar a energia total;
(h) esboçar/identificar o gráfico dee marcar e os valores de correspondentes.
Agora que sabemos o que o problema pede e os dados fornecidos, começo a resolver passo a passo.
Passo 2
Interpretação da equação e relação com a frequência natural.
A equação homogênea tem a forma padrão de um oscilador massa-mola sem amortecimento:
A equação homogênea
onde
é a frequência angular natural do sistema (em
). Comparando os dois termos, obtemos:
Explico: nessa forma padrão,
multiplica
. Aqui esse coeficiente é
, então
. Vou calcular isso no próximo passo.
Passo 3
Cálculo de
e da constante elástica
.
- Como
, temos
- A relação entre
, (constante da mola) e é a clássica para um oscilador massa-mola sem amortecimento:
Isolando
,
Substituindo
e
,
Comentário didático curto: a unidade
vem de que a força elástica é
(N), e dividindo por metros dá
.
Passo 4
Princípio para determinar
e
a partir das condições iniciais.
A solução proposta é . Para usar as condições iniciais calculo
e
em termos de
e
.
A solução proposta é
- Primeiro, a derivada temporal:
- Avaliando em
:
Agora aplico as condições
e
.
Passo 5
Determinação explícita de
e
.
Das equações:
Das equações:
A segunda equação implica
(pois
e
são não nulos). As soluções para
são
,
. Substituindo na primeira:
- Se
: então . - Se
: então , mas amplitude é definido geralmente como número não negativo (na expressão podemos escolher e absorver o sinal em ). Assim a escolha natural compatível com amplitude positiva é e .
Conclusão:
e
.
Passo 6
Escrever a solução explícita e calcular o período
.
Com os valores encontrados:
Com os valores encontrados:
Unidade de
é metros. O período
(tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com
por
Substituindo
:
Comentário: é comum também usar
em vez de
; ambos significam o período.
Passo 7
Calcular
e
em
e
.
Recordando e
.
Recordando
- Para
:
- Para
:
Observação: nos dois instantes a velocidade é zero porque são instantes de inversão do movimento (máximo ou mínimo da posição).
Passo 8
Energia total, cinética e potencial: fórmulas e cálculo do valor total.
- Energia cinética instantânea:
- Energia potencial elástica instantânea:
- Energia mecânica total (constante no caso sem atrito):
Explico a última igualdade: no extremo da oscilação (
,
) toda energia é potencial, então
.
Com
e
,
Passo 9
Calcular as energias em
e
usando os instantes em segundos.
Primeiro relaciono com
:
. Então
Primeiro relaciono
Agora uso
e
.
- Em
:
Então
Confere que
(energia total).
- Em
:
Calculo das energias:
(ou diretamente:
).
Novamente
, constante.
Passo 10
Preparando as anotações finais para (h) — como esboçar o gráfico e que pontos marcar.
A função é . O período é
. Os pontos importantes no intervalo
a
são:
A função é
No eixo vertical marque
. No eixo horizontal marque
(ou usando
:
). O gráfico é uma cossenoide iniciando em 1, decrescendo para 0 em
, atingindo
em
, voltando a 0 em
e 1 em
. Para a velocidade, os zeros da velocidade coincidem com os extremos de
(0 velocidade em
).
Resposta
a) Movimento harmônico simples (oscilação harmônica unidimensional).
b)
k =
k =
c)
d)
(metros). Período:
e)
f) Com
:
.
-
. -
.
g) Energia total
.
h) Gráfico de
: marcar no eixo
os pontos
. Valores correspondentes de
:
.