Um corpo ligado a uma mola tem massa de 2 kg (sistema massa-mola). Esse corpo oscila em uma única direção, ou seja, realiza um movimento unidimensional, modelado pela equação diferencial
[
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+64 x=0
]
em que x é a posição do corpo em relação a posição de equilíbrio em um dado instante. O corpo é liberado a uma distância de 1 m da posição de equilíbrio. A solução geral é dada por x(t)=C \cos \left(\omega_{0} t+\delta\right), em que \mathrm{C}, \delta e \omega_{0} são constantes do movimento. Os valores de C e \delta são obtidos com as condições iniciais enquanto o valor de \omega_{0} é obtido com os valores das grandezas que caracterizam o sistema massa-mola.
a) Qual é o tipo de movimento realizado pela sistema massa-mola?
b) Complete corretamente a tabela, com os valores numéricos corretos das grandezas e sua respectiva unidade de medida.
Grandeza Valor numérico Unidade
\omega_{0}
k
c) Sabendo-se que \mathrm{x}(0)=1 \mathrm{me} \frac{d x}{d t}(0)=0, então é possível calcular os valores indicada na tabela a seguir.
Grandeza Valor numérico Unidade
C
\delta
d) Escreva a solução geral explicitamente com todos os valores numéricos das constantes O período (\tau) de oscilação.
e) Complete corretamente a tabela a seguir, com os valores numéricos corretos das grandezas.
t(\mathrm{~s}) x(\mathrm{t})[\mathrm{m}] \dot{x}(t)[\mathrm{m} / \mathrm{s}]
\frac{\pi}{4}
\frac{\pi}{8}
f) O valor da energia cinética no instante t é calculado por meio da igualdade E_{c}=\frac{m \dot{x}^{2}}{2}. O valor numérico da energia potencial no instante t é obtido com E_{P}=\frac{k x^{2}}{2}. Complete a tabela a seguir de forma correta apresentando os valores numéricos corretos das grandezas.
t(\mathrm{~s}) E_{C}(\mathrm{~J}) E_{P}(\mathrm{~J})
\frac{T}{4}=\ldots \ldots \ldots
\frac{T}{8}=\ldots \ldots \ldots
g) A energia total do sistema vale: \mathrm{E}= ______
h) Represente graficamente a função que representa a solução geral da equação diferencial do movimento. Use a figura a seguir para esboçar o gráfico e explicite nele os valores numéricos intermediários T, T/4, T/2, e 3T/4 no eixo horizontal e os seus respectivos valores numéricos de \mathrm{x}(\mathrm{t}) colocados no eixo vertical.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede várias coisas. Vou listar tudo com clareza (não resolvo nada ainda):
  • Equação diferencial do movimento: \frac{d^{2}x}{dt^{2}} + 64\, x = 0.
  • Massa do corpo: m = 2\\ \mathrm{kg}.
  • Solução geral fornecida: x(t) = C \cos\big(\omega_{0} t + \delta\big), onde C, \delta e \omega_{0} são constantes.
  • Condições iniciais (informadas mais adiante): x(0) = 1\\ \mathrm{m} e \dfrac{dx}{dt}(0) = 0.
  • O enunciado pede, em partes:
    (a) identificar o tipo de movimento;
    (b) preencher tabela com \omega_{0} e k (constante elástica);
    (c) obter C e \delta a partir das condições iniciais;
    (d) escrever a solução com valores numéricos e calcular o período \tau;
    (e) calcular x(t) e \dot x(t) para t=\pi/4 e t=\pi/8;
    (f) calcular energias cinética E_C e potencial E_P para t=T/4 e t=T/8 (onde T é o período);
    (g) encontrar a energia total E;
    (h) esboçar/identificar o gráfico de x(t) e marcar T,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4 e os valores de x correspondentes.
Agora que sabemos o que o problema pede e os dados fornecidos, começo a resolver passo a passo.

Passo 2

Interpretação da equação e relação com a frequência natural.
A equação homogênea \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 64\,x = 0 tem a forma padrão de um oscilador massa-mola sem amortecimento:
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} + \omega_{0}^{2}\,x = 0,
onde \omega_{0} é a frequência angular natural do sistema (em \mathrm{rad/s}). Comparando os dois termos, obtemos:
\omega_{0}^{2} = 64.
Explico: nessa forma padrão, \omega_{0}^{2} multiplica x. Aqui esse coeficiente é 64, então \omega_{0} = \sqrt{64}. Vou calcular isso no próximo passo.

Passo 3

Cálculo de \omega_{0} e da constante elástica k.
  • Como \omega_{0}^{2}=64, temos
\omega_{0} = \sqrt{64} = 8\\ \mathrm{rad/s}.
  • A relação entre \omega_{0}, k (constante da mola) e m é a clássica para um oscilador massa-mola sem amortecimento:
\omega_{0} = \sqrt{\frac{k}{m}}.
Isolando k,
k = m\,\omega_{0}^{2}.
Substituindo m=2\\ \mathrm{kg} e \omega_{0}^{2}=64,
k = 2 \times 64 = 128\\ \mathrm{N/m}.
Comentário didático curto: a unidade \mathrm{N/m} vem de que a força elástica é F = -kx (N), e dividindo por metros dá \mathrm{N/m}.

Passo 4

Princípio para determinar C e \delta a partir das condições iniciais.
A solução proposta é x(t) = C \cos(\omega_{0} t + \delta). Para usar as condições iniciais calculo x(0) e \dot x(0) em termos de C e \delta.
  • Primeiro, a derivada temporal:
\dot x(t) = \frac{dx}{dt} = -C\,\omega_{0}\,\sin(\omega_{0} t + \delta).
  • Avaliando em t=0:
x(0) = C\cos(\delta), \qquad \dot x(0) = -C\,\omega_{0}\,\sin(\delta).
Agora aplico as condições x(0)=1 e \dot x(0)=0.

Passo 5

Determinação explícita de C e \delta.
Das equações:
C\cos(\delta) = 1, \qquad -C\,\omega_{0}\,\sin(\delta) = 0.
A segunda equação implica \sin(\delta) = 0 (pois C e \omega_{0} são não nulos). As soluções para \sin(\delta)=0 são \delta = n\pi, n\in\mathbb{Z}. Substituindo na primeira:
  • Se \delta = 0: \cos(0)=1 então C \cdot 1 = 1 \Rightarrow C = 1.
  • Se \delta = \pi: \cos(\pi) = -1 então C(-1)=1 \Rightarrow C = -1, mas amplitude C é definido geralmente como número não negativo (na expressão C\cos(\dots) podemos escolher C\ge0 e absorver o sinal em \delta). Assim a escolha natural compatível com amplitude positiva é \delta=0 e C=1.
Conclusão: C = 1\\ \mathrm{m} e \delta = 0\\ \mathrm{rad}.

Passo 6

Escrever a solução explícita e calcular o período \tau.
Com os valores encontrados:
x(t) = 1\cdot \cos(8t + 0) = \cos(8t).
Unidade de x(t) é metros. O período \tau (tempo de uma oscilação completa) relaciona-se com \omega_{0} por
\tau = \frac{2\pi}{\omega_{0}}.
Substituindo \omega_{0}=8:
\tau = \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{4}\\ \mathrm{s}.
Comentário: é comum também usar T em vez de \tau; ambos significam o período.

Passo 7

Calcular x(t) e \dot x(t) em t=\pi/4 e t=\pi/8.
Recordando x(t)=\cos(8t) e \dot x(t) = -8\sin(8t).
  • Para t=\pi/4:
8t = 8\cdot\frac{\pi}{4} = 2\pi,
x\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos(2\pi) = 1, \qquad \dot x\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -8\sin(2\pi) = 0.
  • Para t=\pi/8:
8t = 8\cdot\frac{\pi}{8} = \pi,
x\!\left(\frac{\pi}{8}\right) = \cos(\pi) = -1, \qquad \dot x\!\left(\frac{\pi}{8}\right) = -8\sin(\pi) = 0.
Observação: nos dois instantes a velocidade é zero porque são instantes de inversão do movimento (máximo ou mínimo da posição).

Passo 8

Energia total, cinética e potencial: fórmulas e cálculo do valor total.
  • Energia cinética instantânea:
E_{C}(t) = \frac{1}{2} m \dot x(t)^{2}.
  • Energia potencial elástica instantânea:
E_{P}(t) = \frac{1}{2} k x(t)^{2}.
  • Energia mecânica total (constante no caso sem atrito):
E = E_{C}(t) + E_{P}(t) = \frac{1}{2}kC^{2}.
Explico a última igualdade: no extremo da oscilação ( \dot x=0, x=C) toda energia é potencial, então E = \tfrac{1}{2}kC^{2}.
Com k=128\\ \mathrm{N/m} e C=1\\ \mathrm{m},
E = \frac{1}{2}\cdot 128\cdot 1^{2} = 64\\ \mathrm{J}.

Passo 9

Calcular as energias em t = T/4 e t = T/8 usando os instantes em segundos.
Primeiro relaciono T com \tau: T=\tau=\pi/4. Então
\frac{T}{4} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{16}, \qquad \frac{T}{8} = \frac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{8} = \frac{\pi}{32}.
Agora uso x(t)=\cos(8t) e \dot x(t)=-8\sin(8t).
  • Em t = T/4 = \pi/16:
8t = 8\cdot\frac{\pi}{16} = \frac{\pi}{2},
x = \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \qquad \dot x = -8\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right) = -8.
Então
E_{C} = \frac{1}{2}\,m\,\dot x^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot (-8)^{2} = 1\cdot 64 = 64\\ \mathrm{J},
E_{P} = \frac{1}{2}\,k\,x^{2} = \frac{1}{2}\cdot 128\cdot 0^{2} = 0\\ \mathrm{J}.
Confere que E_{C}+E_{P}=64\\ \mathrm{J} (energia total).
  • Em t = T/8 = \pi/32:
8t = 8\cdot\frac{\pi}{32} = \frac{\pi}{4},
x = \cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \dot x = -8\sin\!\left(\frac{\pi}{4}\right) = -8\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = -4\sqrt{2}.
Calculo das energias:
E_{C} = \frac{1}{2}\,m\,\dot x^{2} = \frac{1}{2}\cdot 2 \cdot (4\sqrt{2})^{2} = 1 \cdot (32) = 32\\ \mathrm{J},
(ou diretamente: (4\sqrt{2})^{2}=32).
E_{P} = \frac{1}{2}\,k\,x^{2} = \frac{1}{2}\cdot128\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = 64\cdot\frac{1}{2} = 32\\ \mathrm{J}.
Novamente E_{C}+E_{P}=32+32=64\\ \mathrm{J}, constante.

Passo 10

Preparando as anotações finais para (h) — como esboçar o gráfico e que pontos marcar.
A função é x(t)=\cos(8t). O período é T=\pi/4. Os pontos importantes no intervalo 0 a T são:
t=0 \Rightarrow x(0)=1,
t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}{16} \Rightarrow x=0,
t=\frac{T}{2}=\frac{\pi}{8} \Rightarrow x=-1,
t=\frac{3T}{4}=\frac{3\pi}{16} \Rightarrow x=0,
t=T=\frac{\pi}{4} \Rightarrow x(=1) \text{ (retorna ao inicio)}.
No eixo vertical marque x=1, 0, -1. No eixo horizontal marque 0,\\ \pi/16,\\ \pi/8,\\\ 3\pi/16,\\ \pi/4 (ou usando T: 0,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4,\\ T). O gráfico é uma cossenoide iniciando em 1, decrescendo para 0 em T/4, atingindo -1 em T/2, voltando a 0 em 3T/4 e 1 em T. Para a velocidade, os zeros da velocidade coincidem com os extremos de x (0 velocidade em t=0,T/2,\dots).

Resposta

a) Movimento harmônico simples (oscilação harmônica unidimensional).
b) \omega_{0}=8\\ \mathrm{rad/s}
k = 128\\ \mathrm{N/m}
c) C=1\\ \mathrm{m}
\delta=0\\ \mathrm{rad}
d) x(t)=\cos(8t) (metros). Período: \tau = \dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{s}
e) t=\dfrac{\pi}{4}:\\ x\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1\\ \mathrm{m},\\ \dot x\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=0\\ \mathrm{m/s}
t=\dfrac{\pi}{8}:\\ x\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=-1\\ \mathrm{m},\\ \dot x\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=0\\ \mathrm{m/s}
f) Com T=\pi/4: T/4=\pi/16,\\ T/8=\pi/32.
  • t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{16}:\\ E_{C}=64\\ \mathrm{J},\\ E_{P}=0\\ \mathrm{J}.
  • t=\dfrac{T}{8}=\dfrac{\pi}{32}:\\ E_{C}=32\\ \mathrm{J},\\ E_{P}=32\\ \mathrm{J}.
g) Energia total E=64\\ \mathrm{J}.
h) Gráfico de x(t)=\cos(8t): marcar no eixo t os pontos 0,\\ T/4=\pi/16,\\ T/2=\pi/8,\\\ 3T/4=3\pi/16,\\ T=\pi/4. Valores correspondentes de x: x(0)=1,\\ x(T/4)=0,\\ x(T/2)=-1,\\ x(3T/4)=0,\\ x(T)=1.

Exercícios relacionados