Se
[I]_{\alpha}^{\alpha^{\prime}}=\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1\end{array}\right] encontre:
[v]_{\alpha^{\prime}} onde [v]_{\alpha}=\left[\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de mudança de base de \alpha para \alpha':
[I]_{\alpha}^{\alpha'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e o vetor coordenado em \alpha [v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} -1 \\\\ 2 \\\\ 3 \end{pmatrix}.
Queremos encontrar as coordenadas de v na base \alpha'.

Passo 2

Para passar de coordenadas em \alpha para coordenadas em \alpha', usamos a relação
[v]_{\alpha'} \;=\; [I]_{\alpha}^{\alpha'} \,[v]_{\alpha}.

Passo 3

Substituindo e efetuando a multiplicação de matrizes, temos:
[I]_{\alpha}^{\alpha'}\,[v]_{\alpha} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 1 \\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\[4pt] 2 \\[4pt] 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 0\cdot 3 \\[4pt] 0\cdot(-1) + (-1)\cdot 2 + 1\cdot 3 \\[4pt] 1\cdot(-1) + 0\cdot 2 + (-1)\cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 + 2 + 0 \\[4pt] 0 - 2 + 3 \\[4pt] -1 + 0 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 1 \\[4pt] -4 \end{pmatrix}.]

Resposta

[v]_{\alpha'} = \begin{pmatrix} 1 \\[4pt] 1 \\[4pt] -4 \end{pmatrix}.]

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