Considere o espaço vetorial \mathcal{P}_{2} munido com o produto interno:
\langle p, q\rangle=a_{0} b_{0}+a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}, \quad \forall p, q \in \mathcal{P}_{2}
em que p(t)=a_{0}+a_{1} t+a_{2} t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1} t+b_{2} t^{2}.
Dados os polinômios p_{1}(t)=t^{2}-2 t+3 e p_{2}(t)=3 t-4 determine \left\langle p_{1}, p_{2}\right\rangle,\left\|p_{1}\right\|,\left\|p_{2}\right\| e o ângulo \theta formado entre p_{1} e p_{2}.

Passo 1

O enunciado define o espaço \mathcal{P}_{2} com o produto interno
\langle p,q\rangle = a_{0}b_{0}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}
quando p(t)=a_{0}+a_{1}t+a_{2}t^{2} e q(t)=b_{0}+b_{1}t+b_{2}t^{2}.
Precisamos usar três conceitos básicos:
  1. Cálculo do produto interno \langle p_{1},p_{2}\rangle.
  2. Norma induzida pela fórmula \|p\|=\sqrt{\langle p,p\rangle}.
  3. Relação entre produto interno e ângulo:
\cos\theta = \frac{\langle p_{1},p_{2}\rangle}{\|p_{1}\|\;\|p_{2}\|}.

Passo 2

Identificamos os coeficientes de
p_{1}(t)=t^{2}-2t+3\quad\Longrightarrow\quad(a_{0},a_{1},a_{2})=(3,-2,1),
p_{2}(t)=3t-4\quad\Longrightarrow\quad(b_{0},b_{1},b_{2})=(-4,3,0).
Então
\langle p_{1},p_{2}\rangle =3\cdot(-4)+(-2)\cdot3+1\cdot0 =-12-6+0 =-18.

Passo 3

As normas são
\|p_{1}\|=\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}} =\sqrt{9+4+1} =\sqrt{14},
\|p_{2}\|=\sqrt{(-4)^{2}+3^{2}+0^{2}} =\sqrt{16+9} =5.

Passo 4

Aplicando a fórmula do cosseno,
\cos\theta =\frac{\langle p_{1},p_{2}\rangle}{\|p_{1}\|\;\|p_{2}\|} =\frac{-18}{5\sqrt{14}}.
Logo
\theta = \operatorname{arccos}\!\Bigl(-\frac{18}{5\sqrt{14}}\Bigr).
Se quiser aproximar em graus, dá cerca de 163{,}9^\circ.

Resposta

\langle p_{1},p_{2}\rangle = -18 \|p_{1}\| = \sqrt{14} \|p_{2}\| = 5 \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(-\tfrac{18}{5\sqrt{14}}\bigr) (aprox. 163{,}9^\circ)

Exercícios relacionados