Um alpinista foi encontrado em um acampamento em grande altitude. A temperatura externa permaneceu estável em -8^{\circ} \mathrm{C} durante a noite.
A equipe de resgate mediu a temperatura corporal do alpinista:
  • Às 05:20, estava 29^{\circ} \mathrm{C}.
  • Às 05:50, estava 28^{\circ} \mathrm{C}.
Sabe-se que a temperatura normal do corpo humano é 37^{\circ} \mathrm{C}.
Estime a hora aproximada da morte e analise se poderia ter ocorrido pouco depois de ele ter saído de sua barraca às 23:00.

Passo 1

O enunciado nos dá um alpinista cuja temperatura corporal segue a Lei de Resfriamento de Newton com temperatura ambiente constante -8^\circ\mathrm{C}. Ele apresenta medições de temperatura corporal:
Às 05:20, T_1=29^\circ\mathrm{C};
Às 05:50, T_2=28^\circ\mathrm{C}.
Sabemos que a temperatura no momento da morte era 37^\circ\mathrm{C}. Nosso objetivo é estimar o instante da morte usando
T(t)=T_{\text{amb}} + \bigl(T_0 - T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k\,t},
onde T_{\text{amb}}=-8^\circ\mathrm{C}, T_0=37^\circ\mathrm{C}, k é a constante de resfriamento e t é o tempo (em horas) desde a morte.

Passo 2

Primeiro encontramos k usando a razão das duas medições, lembrando que o intervalo entre elas é de \Delta t=0,5 hora.
Como
T_1-T_{\text{amb}} =\bigl(T_0-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k\,t_1}, \quad T_2-T_{\text{amb}} =\bigl(T_0-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k\,t_2},
dividindo obtemos
\frac{T_1-T_{\text{amb}}}{T_2-T_{\text{amb}}} =e^{-k(t_1-t_2)} =e^{\,k\,\Delta t}.
Substituindo T_{\text{amb}}=-8, T_1=29, T_2=28 e \Delta t=0,5:
\frac{29 - (-8)}{28 - (-8)} =\frac{37}{36} =e^{\,0,5\,k} \;\Longrightarrow\; k =\frac{1}{0,5}\ln\!\bigl(\tfrac{37}{36}\bigr) =2\ln\!\bigl(\tfrac{37}{36}\bigr)\approx0{,}0548\\ \text{h}^{-1}.

Passo 3

Agora determinamos o tempo t_1 desde a morte até as 05:20 usando
T_1-T_{\text{amb}} =\bigl(T_0-T_{\text{amb}}\bigr)e^{-k\,t_1}.
Substituindo T_0-T_{\text{amb}}=37-(-8)=45 e T_1-T_{\text{amb}}=29-(-8)=37:
37 = 45\,e^{-\,0,0548\,t_1} \quad\Longrightarrow\quad e^{-\,0,0548\,t_1}=\frac{37}{45} \quad\Longrightarrow\quad t_1 =-\frac{1}{0,0548}\ln\!\bigl(\tfrac{37}{45}\bigr) \approx3{,}57\\ \text{h}.

Passo 4

O instante de morte é t_1 horas antes de 05:20. Convertendo 3{,}57 horas em horas e minutos:
3{,}57\\ \text{h}\approx3\\ \text{h}+0{,}57\times60\\ \text{min}\approx3\\ \text{h}34\\ \text{min}.
Portanto,
\text{Hora da morte} \approx 05\!:\!20 - 3\!:\!34 = 01\!:\!46\\ (\text{aprox.}).
Como ele saiu da barraca às 23:00, a morte não ocorreu “logo depois” desse horário, mas sim por volta de 01:45 da madrugada.

Resposta

A morte ocorreu por volta de 01:45, ou seja, bem depois de 23:00 e não pouco depois de ele ter deixado a barraca.

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