Um alpinista foi encontrado em um acampamento em grande altitude. A temperatura externa permaneceu estável em -8^{\circ} \mathrm{C} durante a noite.
A equipe de resgate mediu a temperatura corporal do alpinista:
  • Às 05:20, estava 29^{\circ} \mathrm{C}.
  • Às 05:50, estava 28^{\circ} \mathrm{C}.
Sabe-se que a temperatura normal do corpo humano é 37^{\circ} \mathrm{C}.
Estime a hora aproximada da morte e analise se poderia ter ocorrido pouco depois de ele ter saído de sua barraca às 23:00.

Passo 1

O enunciado fornece que a temperatura ambiente é constante em -8^\circ\mathrm{C}, que a temperatura normal do corpo humano é 37^\circ\mathrm{C} e que em dois instantes da madrugada foram medidas as temperaturas corporais: às 05:20 estava 29^\circ\mathrm{C} e às 05:50 estava 28^\circ\mathrm{C}. Vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que diz que a temperatura T(t) de um corpo imerso em ambiente a \,T_e satisfaz
T(t) = T_e + \bigl(T_0 - T_e\bigr)\,e^{-k\,t},
onde T_0 é a temperatura inicial (aqui 37^\circ\mathrm{C}), T_e=-8^\circ\mathrm{C} é a temperatura do meio e k é a constante de resfriamento. Nosso objetivo é encontrar k a partir das duas medições e depois achar o tempo t_1 desde a morte (quando T=T_0) até 05:20, para estimar a hora da morte.

Passo 2

Chamando de t=0 o momento da morte, e de t_1 o instante correspondente a 05:20, temos
T_1 = T_e + (T_0 - T_e)\,e^{-k\,t_1},\quad T_2 = T_e + (T_0 - T_e)\,e^{-k\,(t_1 + \Delta t)},
onde T_1=29, T_2=28 e \Delta t = 30\text{ min}=0,5\text{ h}. Subtraindo T_e e dividindo, obtemos
\frac{T_2 - T_e}{T_1 - T_e} \;=\; e^{-k\,\Delta t} \;\Longrightarrow\; e^{-0,5\,k} = \frac{28-(-8)}{29-(-8)} = \frac{36}{37}.
Logo
-0,5\,k = \ln\!\bigl(\tfrac{36}{37}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad k = -2\,\ln\!\bigl(\tfrac{36}{37}\bigr) = 2\,\ln\!\bigl(\tfrac{37}{36}\bigr)\approx 0,0548\;\text{h}^{-1}.

Passo 3

Agora usamos a primeira medição para achar t_1:
29 = -8 + (37 - (-8))\,e^{-k\,t_1} \;\Longrightarrow\; e^{-k\,t_1} = \frac{29+8}{45} = \frac{37}{45} \;\Longrightarrow\; t_1 = -\frac{1}{k}\ln\!\bigl(\tfrac{37}{45}\bigr).
Numericamente, \ln(37/45)\approx -0,1960, então
t_1 = \frac{0,1960}{0,0548}\approx 3,58\text{ h}\approx 3\text{ h }34\text{ min}.

Passo 4

A medição de t_1 corresponde a 05:20. Voltando no tempo 3 h 34 min, obtemos
\text{hora da morte}\approx 05\!:\!20 \;-\; 3\!:\!34 \;=\; 01\!:\!46.

Passo 5

Ele teria saído da barraca às 23:00. Se a morte ocorreu às 01:46, isso é cerca de 2 h 46 min depois, não “logo em seguida” ao sair às 23:00, mas sim algumas horas depois.

Resposta

Aproximadamente às 01:45 da manhã. Portanto, a morte não ocorreu pouco depois de ele ter saído às 23:00, mas quase três horas depois.

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