Nas seguintes equações:
  • Mostre que são separáveis.
  • Resolva a equação e determine o intervalo no qual a solução está definida.
    Caso seja possível, faça um gráfico ou dê uma ideia da solução.
\left(\alpha y^{2}+\beta\right)^{\frac{1}{2}}-x y \frac{d y}{d t}=0, \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R}, \alpha \neq 0 .

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}-x\,y\,\frac{dy}{dt}=0,\quad \alpha,\beta\in\mathbb{R},\;\alpha\neq0,
onde a variável independente aparece como t, mas há um x misturado. Na verdade trata-se de uma equação do tipo
\frac{dy}{dx}=\frac{(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}}{x\,y},
que é separável. Nosso conteúdo é resolução de ODEs separáveis: mostrar a separabilidade, integrar ambos os lados, obter a solução geral e determinar o intervalo de definição (domínio) da solução.

Passo 2

Reescrevemos a equação explicitando dy/dx. Partimos de
(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}=x\,y\,\frac{dy}{dx}
e isolamos as partes que dependem de y de um lado e de x do outro:
\frac{dy}{dx}=\frac{(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}}{x\,y}\;\Longrightarrow\;\frac{y}{(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}}\,dy=\frac{dx}{x}.

Passo 3

Agora integramos cada lado:
\int \frac{y}{(\alpha y^{2}+\beta)^{\tfrac12}}\,dy = \int \frac{dx}{x}.
No lado esquerdo, faça u=\alpha y^{2}+\beta, du=2\alpha y\,dy, daí
\int \frac{y}{\sqrt{\alpha y^{2}+\beta}}\,dy =\frac{1}{2\alpha}\int u^{-\tfrac12}\,du =\frac{1}{\alpha}\sqrt{u} =\frac{1}{\alpha}\sqrt{\alpha y^{2}+\beta}.
No lado direito,
\int \frac{dx}{x}=\ln\bigl|x\bigr|+C.

Passo 4

Igualando os resultados de cada lado, obtemos a solução implícita
\frac{1}{\alpha}\sqrt{\alpha y^{2}+\beta} =\ln\bigl|x\bigr|+C \;\Longrightarrow\; \sqrt{\alpha y^{2}+\beta} =\alpha\ln\bigl|x\bigr|+K,
com K=\alpha C. Elevando ao quadrado e isolando y,
\alpha y^{2}+\beta =\bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2} \;\Longrightarrow\; y^{2} =\frac{\bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2}-\beta}{\alpha},
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y(x) =\pm\sqrt{\frac{\bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2}-\beta}{\alpha}}.

Passo 5

Para a solução fazer sentido, precisamos de
\bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2}-\beta\ge0 \quad\text{e}\quad x\neq0.
Assim o domínio (intervalo) natural de definição é em cada um dos ramos x>0 ou x<0, sujeito à condição
\bigl|\alpha\ln|x|+K\bigr|\ge\sqrt{\beta}\quad(\text{se }\beta>0),
ou sem restrição extra em \beta\le0.

Passo 6

Graficamente, y é função de \ln|x|: quando |x| cresce, \ln|x| cresce e o termo \alpha\ln|x|+K se afasta de zero, fazendo |y| aumentar. Temos dois ramos simétricos y>0 e y<0, definidos em (0,\infty) e em (-\infty,0), interrompidos onde (\alpha\ln|x|+K)^{2}=\beta.

Resposta

A solução geral é dada implicitamente por
\sqrt{\alpha y^{2}+\beta} =\alpha\ln\bigl|x\bigr|+K,
ou explicitamente
y(x) =\pm\sqrt{\frac{\bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2}-\beta}{\alpha}}.
O domínio natural é em cada ramo x>0 ou x<0, respeitando \bigl(\alpha\ln|x|+K\bigr)^{2}\ge\beta.

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