Qual das altemativas abaixo indica o domínio da função f(x, y)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}-4 y-1}}{\ln \left(6 x-y^{2}\right)} ?
Escolha uma opção:
◯ a. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-4 y-1>0,6 x-y^{2} \neq 0\right\}
◯ b. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 6 x-y^{2}>0\right\}
◯ c. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-4 y-1>0,6 x-y^{2}>0,6 x-y^{2} \neq 1\right\}
◯ d. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 6 x-y^{2} \neq 1\right\}
◯ e. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}-4 y-1>0,6 x-y^{2} \neq 1\right\}
◯ f. \mathbb{R}^{2}
◯ g. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 6 x-y^{2} \neq 0\right\}
◯ h. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 6 x-y^{2}>0,6 x-y^{2} \neq 1\right\}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}-4y-1}}{\ln\bigl(6x-y^{2}\bigr)}
e pede qual alternativa indica o domínio de f. As informações relevantes que temos do enunciado são:
  • o numerador é \sqrt[3]{x^{2}-4y-1};
  • o denominador é \ln\bigl(6x-y^{2}\bigr);
  • precisamos escolher uma das alternativas listadas que corresponde ao domínio.

Passo 2

Analisar o numerador: \sqrt[3]{x^{2}-4y-1}.
Conceito importante (explicação didática): para raízes ímpares (como a raiz cúbica) o radicando pode ser qualquer número real — a raiz cúbica de um número negativo é um número real negativo. Ou seja, a função \sqrt[3]{\cdot} está definida para todo radicando em \mathbb{R}.
Aplicando aqui: a condição sobre x e y vinda do numerador é nenhuma — ou seja, o numerador não impõe restrição: todos os (x,y)\in\mathbb{R}^2 são permitidos quanto ao numerador. Exemplo concreto: \sqrt[3]{-8}=-2, então valores com x^{2}-4y-1<0 também são válidos.

Passo 3

Analisar o denominador: \ln\bigl(6x-y^{2}\bigr).
Conceitos que precisamos lembrar:
  • O logaritmo natural \ln(t) está definido apenas para argumentos positivos, isto é, para t>0.
  • Além disso, como \ln\bigl(6x-y^{2}\bigr) aparece no denominador, não podemos ter \ln\bigl(6x-y^{2}\bigr)=0, porque divisão por zero é proibida. Como \ln(1)=0, isso implica que devemos excluir o caso 6x-y^{2}=1.
Portanto, as condições impostas pelo denominador são simultaneamente:
6x-y^{2}>0 \qquad\text{e}\qquad 6x-y^{2}\neq 1.
Note que a primeira já garante que 6x-y^{2} não seja zero nem negativo; a segunda exclui especificamente o ponto onde o logaritmo valeria zero.

Passo 4

Combinar restrições das duas partes:
  • O numerador não impõe restrição (aceita qualquer real).
  • O denominador impõe as duas condições escritas no passo anterior.
Logo o domínio de f é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 6x-y^{2}>0,\;6x-y^{2}\neq 1\}.

Passo 5

Entre as alternativas fornecidas, a única que apresenta exatamente as duas condições acima é a alternativa que descreve o conjunto \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid 6x-y^{2}>0,\;6x-y^{2}\neq 1\}.

Resposta

(h)

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