Sejam as afimnações :
- A equação
representa um Parabolóide elíptico.
II) 0 s traços
e
da superficie
são, respectivamente, hipérbole, elipse e hipérbole.
III) Existem seçöes
, para valores de
apropriados, da superficie
que säo elipses.
Marque a altemativa correta:
Escolha uma opção:
◯ a. Todas as afimmações são falsas.
◯ b. Apenas a afimação I) é verdadeira
◯ c. Apenas a afimnação III) é verdadeira.
◯ d. Apenas a afimmação II) é verdadeira.
◯ e. Todas as afimmações são verdadeiras.
II) 0 s traços
III) Existem seçöes
Escolha uma opção:
◯ a. Todas as afimmações são falsas.
◯ b. Apenas a afimação I) é verdadeira
◯ c. Apenas a afimnação III) é verdadeira.
◯ d. Apenas a afimmação II) é verdadeira.
◯ e. Todas as afimmações são verdadeiras.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta três afirmações e pede que eu escolha a alternativa correta sobre quais afirmações são verdadeiras ou falsas.
Afirmações dadas (reproduzidas e interpretadas para facilitar):
- I) A equação
representa um Parabolóide elíptico. - Observação: o símbolo
no enunciado parece ser um erro de digitação. Vou interpretar como a variável , ficando a equação
- Observação: o símbolo
- II) Os traços nas coordenadas
, e da superfície são, respectivamente, hipérbole, elipse e hipérbole. - III) Existem seções
, para valores apropriados de , da superfície que são elipses.
O pedido: determinar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras e, com isso, marcar a alternativa correta entre as opções dadas.
Passo 2
Breve revisão (didática) sobre classificação das superfícies quadráticas/cônicas (isso é essencial para entender as resoluções):
- Um parabolóide elíptico tem forma canônica (após rotação/tradução adequada) semelhante a
onde uma variável aparece em grau 1 (linear) e as outras duas aparecem em quadrado com sinais iguais e coeficientes positivos. Geometricamente é uma superfície em “forma de tigela” que abre ao longo da direção da variável linear. - Uma hipérbole no plano tem equação do tipo
(ou a forma invertida com os sinais trocados). Uma elipse tem equação do tipo - Para analisar traços (interseções com planos coordenados) basta fixar a coordenada (ex.:
) e examinar a equação resultante no plano das outras duas coordenadas, classificando-a pelo sinal dos termos quadráticos e pelo valor do lado direito.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às três afirmações.
Passo 3
Análise da afirmação I (detalhada, passo a passo).
- Interpretando
como , a equação fica - Reescrevendo para isolar
: portanto - Interpretação:
aparece linear (grau 1) e o lado direito é a soma de dois termos quadráticos positivos em e . Isso é exatamente a forma de um parabolóide elíptico que abre no sentido dos valores crescentes de . - Conclusão para I: a equação (na interpretação razoável acima) representa um parabolóide elíptico. Logo a afirmação I é verdadeira.
Comentário didático curto: a chave para reconhecer um parabolóide elíptico é ter uma variável linear relacionada a uma soma de quadrados das outras duas variáveis com sinais positivos.
Passo 4
Análise da afirmação II (passo a passo e bem mastigado).
- Superfície dada:
- Traço em
: substituir na equação: Essa é da forma , que é uma hipérbole no plano . Portanto o primeiro traço é hipérbole — coincide com a afirmação. - Traço em
: substituir : Essa é da forma , que é uma elipse no plano . Portanto o segundo traço é elipse — coincide com a afirmação. - Traço em
: substituir : que é da forma , isto é, uma hipérbole no plano . Portanto o terceiro traço é hipérbole — coincide com a afirmação. - Conclusão para II: a afirmação II é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmação III (passo a passo e verificando condições).
- Superfície dada:
- Seção pela reta
(plano vertical paralelo ao plano e perpendicular ao eixo ): substituir : - Reorganizando:
Multiplicando por : - Para que essa equação represente uma elipse no plano
, é necessário que o lado direito seja positivo: - Conclusão: para valores de
tais que , a seção é da forma uma elipse. Portanto existem seções que são elipses — a afirmação III é verdadeira (e ainda identificamos a condição ). - Comentário didático: se a equação reduzida no plano das outras duas variáveis tem soma de quadrados igual a uma constante positiva, é elipse; se a constante for negativa dá lugar a nada real (nenhuma interseção real) e se a equação tiver sinais opostos, pode ser hipérbole.
Passo 6
Conclusão final combinando as anteriores:
- I é verdadeira (na interpretação natural
); - II é verdadeira;
- III é verdadeira.
Portanto todas as afirmações I, II e III são verdadeiras.
Resposta
(e)