Sejam as afimnações :
  1. A equação \frac{\partial}{4}-\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{121} representa um Parabolóide elíptico.
    II) 0 s traços x=0, y=0 e z=0 da superficie x^{2}-y^{2}+\frac{z^{2}}{3}=1 são, respectivamente, hipérbole, elipse e hipérbole.
    III) Existem seçöes x=k, para valores de k apropriados, da superficie \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{25}=1 que säo elipses.
Marque a altemativa correta:
Escolha uma opção:
◯ a. Todas as afimmações são falsas.
◯ b. Apenas a afimação I) é verdadeira
◯ c. Apenas a afimnação III) é verdadeira.
◯ d. Apenas a afimmação II) é verdadeira.
◯ e. Todas as afimmações são verdadeiras.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta três afirmações e pede que eu escolha a alternativa correta sobre quais afirmações são verdadeiras ou falsas.
Afirmações dadas (reproduzidas e interpretadas para facilitar):
  • I) A equação \frac{\partial}{4}-\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{121} representa um Parabolóide elíptico.
    • Observação: o símbolo \partial no enunciado parece ser um erro de digitação. Vou interpretar \partial como a variável x, ficando a equação \frac{x}{4}-\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{121}.
  • II) Os traços nas coordenadas x=0, y=0 e z=0 da superfície x^{2}-y^{2}+\frac{z^{2}}{3}=1 são, respectivamente, hipérbole, elipse e hipérbole.
  • III) Existem seções x=k, para valores apropriados de k, da superfície \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{25}=1 que são elipses.
O pedido: determinar quais das afirmações I, II e III são verdadeiras e, com isso, marcar a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Breve revisão (didática) sobre classificação das superfícies quadráticas/cônicas (isso é essencial para entender as resoluções):
  • Um parabolóide elíptico tem forma canônica (após rotação/tradução adequada) semelhante a x = A y^{2} + B z^{2}\quad\text{(ou permutações)},çõonde uma variável aparece em grau 1 (linear) e as outras duas aparecem em quadrado com sinais iguais e coeficientes positivos. Geometricamente é uma superfície em “forma de tigela” que abre ao longo da direção da variável linear.
  • Uma hipérbole no plano tem equação do tipo \frac{u^{2}}{a^{2}}-\frac{v^{2}}{b^{2}}=1(ou a forma invertida com os sinais trocados). Uma elipse tem equação do tipo \frac{u^{2}}{a^{2}}+\frac{v^{2}}{b^{2}}=1.
  • Para analisar traços (interseções com planos coordenados) basta fixar a coordenada (ex.: x=0) e examinar a equação resultante no plano das outras duas coordenadas, classificando-a pelo sinal dos termos quadráticos e pelo valor do lado direito.
Vou aplicar essas ideias passo a passo às três afirmações.

Passo 3

Análise da afirmação I (detalhada, passo a passo).
  • Interpretando \partial como x, a equação fica \frac{x}{4}-\frac{y^{2}}{9}=\frac{z^{2}}{121}.
  • Reescrevendo para isolar x: \frac{x}{4} = \frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{121},portanto x = 4\!\left(\frac{y^{2}}{9} + \frac{z^{2}}{121}\right).
  • Interpretação: x aparece linear (grau 1) e o lado direito é a soma de dois termos quadráticos positivos em y e z. Isso é exatamente a forma de um parabolóide elíptico que abre no sentido dos valores crescentes de x.
  • Conclusão para I: a equação (na interpretação razoável acima) representa um parabolóide elíptico. Logo a afirmação I é verdadeira.
Comentário didático curto: a chave para reconhecer um parabolóide elíptico é ter uma variável linear relacionada a uma soma de quadrados das outras duas variáveis com sinais positivos.

Passo 4

Análise da afirmação II (passo a passo e bem mastigado).
  • Superfície dada: x^{2}-y^{2}+\frac{z^{2}}{3}=1.
  • Traço em x=0: substituir x=0 na equação: 0 - y^{2} + \frac{z^{2}}{3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{z^{2}}{3} - y^{2} = 1.Essa é da forma \frac{z^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1, que é uma hipérbole no plano x=0. Portanto o primeiro traço é hipérbole — coincide com a afirmação.
  • Traço em y=0: substituir y=0: x^{2} + \frac{z^{2}}{3} = 1.Essa é da forma \frac{x^{2}}{1} + \frac{z^{2}}{3} = 1, que é uma elipse no plano y=0. Portanto o segundo traço é elipse — coincide com a afirmação.
  • Traço em z=0: substituir z=0: x^{2} - y^{2} = 1,que é da forma \frac{x^{2}}{1} - \frac{y^{2}}{1} = 1, isto é, uma hipérbole no plano z=0. Portanto o terceiro traço é hipérbole — coincide com a afirmação.
  • Conclusão para II: a afirmação II é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmação III (passo a passo e verificando condições).
  • Superfície dada: \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}-\frac{z^{2}}{25}=1.
  • Seção pela reta x=k (plano vertical paralelo ao plano y\!z e perpendicular ao eixo x): substituir x=k: \frac{k^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{25} = 1.
  • Reorganizando: -\frac{y^{2}}{16} - \frac{z^{2}}{25} = 1 - \frac{k^{2}}{9}.Multiplicando por -1: \frac{y^{2}}{16} + \frac{z^{2}}{25} = \frac{k^{2}}{9} - 1.
  • Para que essa equação represente uma elipse no plano x=k, é necessário que o lado direito seja positivo: \frac{k^{2}}{9} - 1 > 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{k^{2}}{9} > 1 \quad\Longrightarrow\quad k^{2} > 9 \quad\Longrightarrow\quad |k| > 3.
  • Conclusão: para valores de k tais que |k|>3, a seção x=k é da forma \frac{y^{2}}{16\bigl(\frac{k^{2}}{9}-1\bigr)} + \frac{z^{2}}{25\bigl(\frac{k^{2}}{9}-1\bigr)} = 1,uma elipse. Portanto existem seções x=k que são elipses — a afirmação III é verdadeira (e ainda identificamos a condição |k|>3).
  • Comentário didático: se a equação reduzida no plano das outras duas variáveis tem soma de quadrados igual a uma constante positiva, é elipse; se a constante for negativa dá lugar a nada real (nenhuma interseção real) e se a equação tiver sinais opostos, pode ser hipérbole.

Passo 6

Conclusão final combinando as anteriores:
  • I é verdadeira (na interpretação natural \partial\mapsto x);
  • II é verdadeira;
  • III é verdadeira.
Portanto todas as afirmações I, II e III são verdadeiras.

Resposta

(e)

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