Questão 4

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O intervalo de convergência da série de potência \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{n \cdot \sqrt[4]{(\ln n)^{5}}} é dado por:
[2,4)
(2,4]
(2,4)
◯ [-4,-2]
(-4,-2)
◯ [2.4]

Passo 1

O enunciado fornece a série de potência centrada em 3
\sum_{n=3}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{n \cdot \sqrt[4]{(\ln n)^{5}}}
e pergunta qual é o intervalo de convergência dessa série (ou seja, os valores de x para os quais a série converge).\n
Informações relevantes do enunciado:
  • A série é somada a partir de n=3.
  • O termo geral é \dfrac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{n\cdot(\ln n)^{5/4}}.
  • O centro da série é x=3.
  • É preciso determinar o raio de convergência e decidir se os pontos finais x=2 e x=4 pertencem ao intervalo de convergência.

Passo 2

Determinar o raio de convergência R. Vou aplicar o teste da raiz (mais direto aqui): para uma série de termos a_n(x-3)^n o teste da raiz usa
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left| \frac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}}\right|}
Calculemos essa raiz n-ésima:
\sqrt[n]{\left|\frac{(-1)^{n}(x-3)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}}\right|} =|x-3|\cdot\sqrt[n]{\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}}.
Agora observe que \sqrt[n]{n}\to 1 e, mais geralmente, para qualquer sequência que cresce subexponencialmente temos \sqrt[n]{(\ln n)^{c}}\to 1. Assim
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}}=1.
Portanto o limite da raiz é simplesmente
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\cdots\right|}=|x-3|.
O teste da raiz diz que a série converge se |x-3|<1, diverge se |x-3|>1. Logo o raio de convergência é
R=1,
ou seja, a parte interior do intervalo de convergência é 2<x<4 (pois 3-1=2 e 3+1=4). Faltam agora analisar os extremos x=2 e x=4.

Passo 3

Testar o extremo x=4. Substituindo x=4 na série obtemos
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(4-3)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}} =\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}}.
Esta é uma série alternada de termos (-1)^{n}b_n com
b_n=\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}>0.
Para aplicar o teste de Leibniz (critério das séries alternadas) precisamos de duas coisas: (i) b_n tende a 0 quando n\to\infty; (ii) b_n é monotonicamente decrescente para n suficientemente grande.
  • Limite: claramente \lim_{n\to\infty} b_n=0 porque o denominador diverge.
  • Monotonicidade: considere a razão
\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{n}{n+1}\left(\frac{\ln n}{\ln(n+1)}\right)^{5/4}.
Temos \dfrac{n}{n+1}<1 e \dfrac{\ln n}{\ln(n+1)}<1, então a razão é <1 para todo n\ge 3; logo b_{n+1}<b_n para n\ge 3. Portanto b_n é decrescente a partir do índice inicial da soma.
Pelo critério de Leibniz a série alternada converge em x=4.
Além disso, verifica-se convergência absoluta em x=4: a série dos valores absolutos é
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}.
Use o teste integral: considere f(x)=\dfrac{1}{x(\ln x)^{5/4}} para x\ge 3. Fazendo a substituição u=\ln x (então du=dx/x) obtém-se
\int_{3}^{\infty}\frac{dx}{x(\ln x)^{5/4}}=\int_{\ln 3}^{\infty}u^{-5/4}\,du.
Como a integral impropria \int_{\ln 3}^{\infty}u^{-5/4}\,du converge (porque o expoente 5/4>1), a série correspondente converge por comparação com a integral. Assim a série converge absolutamente em x=4. Conclusão: x=4 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 4

Testar o extremo x=2. Substituindo x=2 obtemos
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(2-3)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}} =\sum_{n=3}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(-1)^{n}}{n(\ln n)^{5/4}} =\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}.
Aqui todos os termos são positivos e a série é exatamente a mesma série de termos absolutos que apareceu no teste do ponto x=4. Já vimos que
\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n(\ln n)^{5/4}}
converge (pelo teste integral / comparação com \int u^{-5/4}\,du). Portanto a série converge em x=2 e, nesse caso, converge normalmente (absolutamente também). Logo x=2 também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Juntando tudo: o raio de convergência é R=1, a parte aberta do intervalo é (2,4) e ambos os extremos x=2 e x=4 pertencem ao conjunto de convergência (cada um converge, na verdade de maneira absoluta). Portanto o intervalo de convergência é o intervalo fechado
[2,4].

Resposta

[2,4]

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