Altere a prova anterior para mostrar que, se os quatro lados tiverem a mesma medida, então os quatro ângulos serão congruentes.

Passo 1

O enunciado considera um quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, com
AB = BC = CD = DA
Queremos provar que os quatro ângulos internos desse quadrilátero são congruentes. Para isso vamos usar a teoria de cordas, arcos e ângulos inscritos em circunferência.

Passo 2

Em qualquer circunferência vale o seguinte:
  1. Cordas congruentes determinam arcos congruentes.
  2. Arcos congruentes determinam ângulos inscritos congruentes (cada ângulo inscrito mede metade do arco que intercepta).

Passo 3

Como AB=BC=CD=DA, as cordas AB, BC, CD e DA determinam arcos congruentes. Seja
widehatAB=widehatBC=widehatCD=widehatDA=alpha

Passo 4

O ângulo interno em A é ang<= BAD. Esse ângulo intercepta o arco
widehatBC+widehatCD= alpha + alpha = 2alpha
Como um ângulo inscrito mede a metade do arco que intercepta, temos
ang<= A = tfrac12,(2alpha) = alpha

Passo 5

Analogamente:
ang<= B intercepta widehatCD+widehatDA=2alpha, logo ang<= B=alpha.
ang<= C intercepta widehatDA+widehatAB=2alpha, logo ang<= C=alpha.
ang<= D intercepta widehatAB+widehatBC=2alpha, logo ang<= D=alpha.

Resposta

ang<= A = ang<= B = ang<= C = ang<= D.

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