Dois círculos de centro A e B e mesmo raio se interceptam em dois pontos C e D. Se M é o ponto de interseção de A B e C D, mostre que A M=M B е C M=M D.

Passo 1

Resumo do problema: temos duas circunferências de centros A e B e mesmo raio r, que se intersectam nos pontos C e D. A reta AB cruza a reta CD em M. Precisamos mostrar que AM = MB e CM = MD. O conteúdo que vamos usar é o teorema do lugar geométrico do perpendicular bissetor: “os pontos equidistantes de dois pontos formam a perpendicular bissetriz do segmento que une esses pontos”.

Passo 2

Como ambas as circunferências têm raio r, segue-se que
;AC = r, ;AD = r, ;BC = r e ;BD = r.
Em particular
;AC = BC e ;AD = BD,
ou seja, cada um dos pontos C e D está à mesma distância de A e de B. Pelo teorema do perpendicular bissetor, isso implica que a reta que passa por C e D é a bissetriz perpendicular de AB. Logo a interseção M = ABcap CD é o ponto médio de AB, de onde tiramos
AM = MB

Passo 3

Do mesmo modo, das igualdades
;AC = AD e ;BC = BD
vemos que os pontos A e B estão à mesma distância de C e de D. Pelo mesmo teorema, a reta AB é então a bissetriz perpendicular de CD. Assim a interseção M = ABcap CD é o ponto médio de CD, e daí
CM = MD

Resposta

AM = MB e CM = MD.

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