Dois círculos de centro
e
e mesmo raio se interceptam em dois pontos
e
. Se
é o ponto de interseção de
e
, mostre que
е
.
Passo 1
Resumo do problema: temos duas circunferências de centros
e
e mesmo raio
, que se intersectam nos pontos
e
. A reta
cruza a reta
em
. Precisamos mostrar que
e
. O conteúdo que vamos usar é o teorema do lugar geométrico do perpendicular bissetor: “os pontos equidistantes de dois pontos formam a perpendicular bissetriz do segmento que une esses pontos”.
Passo 2
Como ambas as circunferências têm raio
, segue-se que
,
,
e
.
Em particular
e
,
ou seja, cada um dos pontos e
está à mesma distância de
e de
. Pelo teorema do perpendicular bissetor, isso implica que a reta que passa por
e
é a bissetriz perpendicular de
. Logo a interseção
é o ponto médio de
, de onde tiramos
Em particular
ou seja, cada um dos pontos
Passo 3
Do mesmo modo, das igualdades
e
vemos que os pontos e
estão à mesma distância de
e de
. Pelo mesmo teorema, a reta
é então a bissetriz perpendicular de
. Assim a interseção
é o ponto médio de
, e daí
vemos que os pontos