Considere um círculo de raio R centrado em um ponto O. Sejam A e B pontos do círculo, tais que A B não contem o ponto O. Mostre que, o raio que passa pelo ponto médio de A B é perpendicular a A B.

Passo 1

O enunciado fala de um círculo de centro O e raio R, com A e B na circunferência e AB sem passar por O. Precisamos mostrar que o raio que passa pelo ponto médio M de AB é perpendicular a AB. O conteúdo aqui é geometria elementar de círculos, uso de congruência de triângulos e soma de ângulos suplementares.

Passo 2

Seja M o ponto médio de AB. Então, por definição,
AM = MB
e, por serem A e B pontos da circunferência,
OA = OB = R

Passo 3

Considere os triângulos triang<= OAM e triang<= OBM. Temos
OA = OB, AM = MB, OM = OM
Pelo critério Lado–Lado–Lado, segue que
triang<= OAM cong triang<= OBM
e, portanto,
ang<= OMA = ang<= OMB

Passo 4

Como A, M e B são colineares, os ângulos ang<= OMA e ang<= OMB são suplementares:
ang<= OMA + ang<= OMB = 180^circ
Mas sendo iguais, cada um vale 90^circ. Logo, OM é perpendicular a AB.

Resposta

O raio OM que passa pelo ponto médio M de AB é perpendicular a AB, isto é,
OM perp AB

Exercícios relacionados