Em um quadrilátero A B C D, sabe-se que A B=C D e B C=A D. Mostre que, os triângulos A C B e C A D são congruentes. Conclua que, os ângulos opostos do quadrilátero são congruentes, isto é A=C e B=D.

Passo 1

Resumindo, no quadrilátero ABCD sabemos que
  1. AB = CD,
  2. BC = AD.
    O que precisamos mostrar é que os triângulos triang<= ACB e triang<= CAD são congruentes e, a partir disso, concluir que os ângulos opostos do quadrilátero satisfazem hat A=hat C e hat B=hat D. O critério que vamos usar é o de Lado-Lado-Lado (LLL).

Passo 2

Olhemos para os triângulos triang<= ACB e triang<= CAD.
  • No triang<= ACB, os lados são AB, BC e AC.
  • No triang<= CAD, os lados são CD, AD e AC.
    Dos dados do enunciado temos AB=CD e BC=AD. Além disso, AC é lado comum aos dois triângulos.

Passo 3

Pelo critério LLL, como
AB = CD, BC = AD, AC = AC,
concluímos que
triang<= ACB cong triang<= CAD

Passo 4

Da congruência dos triângulos vêm as igualdades de ângulos correspondentes:
ang<= ACB = ang<= CAD, ang<= CAB = ang<= ACD, ang<= ABC = ang<= CDA

Passo 5

Repare que o ângulo interno em A do quadrilátero é
hat A = ang<= DAB = ang<= CAD + ang<= CAB
e o ângulo interno em C é
hat C = ang<= BCD = ang<= BCA + ang<= ACD
Pela congruência, ang<= CAD = ang<= ACB e ang<= CAB = ang<= ACD. Logo
hat A = ang<= CAD + ang<= CAB = ang<= ACB + ang<= ACD = ang<= BCA + ang<= ACD = hat C

Passo 6

Para os vértices B e D, basta usar diretamente
hat B = ang<= ABC e hat D = ang<= CDA
e a congruência dá ang<= ABC = ang<= CDA. Portanto
hat B = hat D

Resposta

Concluímos que triang<= ACBcongtriang<= CAD e, consequentemente, os ângulos opostos do quadrilátero satisfazem
hat A = hat C e hat B = hat D

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