Nas alternativas abaixo, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não-linear.
2 y t+\operatorname{sen}(t+y)=\operatorname{sen} t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
2\,y\,t+\operatorname{sen}(t+y)=\operatorname{sen}t
e pede duas coisas:
  • Determinar a ordem da equação diferencial.
  • Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é y (função de t).
  • A variável independente é t.
  • A equação escrita envolve t, y e funções trigonométricas, conforme mostrado acima.
  • Não há nenhuma derivada explícita escrita na equação (nenhum y', y'', etc.) — isso é um ponto que será analisado no próximo passo.

Passo 2

O que significa “ordem” numa equação diferencial?
  • Ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a equação contém y'' mas não contém y^{(3)}, a ordem é 2.
Agora olhamos para a equação dada e procuramos derivadas de y. Escrevendo-a de forma mais clara:
2\,t\,y+\sin(t+y)-\sin t=0.
Aqui não aparece nenhuma derivada de y (nenhum termo do tipo y', y'', \dots). Logo:
  • Não há derivadas; portanto a equação não contém ordens positivas de derivada.
    Conclusão sobre ordem: se for tratada no contexto de “equação diferencial”, o maior número de derivadas presente é 0. Em muitas referências isso é dito como ordem \,0 (ou se preferir, dizer que não é, estritamente, uma equação diferencial porque não envolve derivadas).

Passo 3

Agora vamos analisar linearidade. Primeiro, o que é uma equação diferencial linear?
  • Uma equação diferencial de ordem n é linear se puder ser escrita na forma
a_n(t)\,y^{(n)}+\cdots+a_1(t)\,y'+a_0(t)\,y=g(t),
onde os coeficientes a_i(t) e o termo conhecido g(t) dependem só de t (não dependem de y), e y e suas deriva-das aparecem apenas na primeira potência (sem produtos entre elas, sem funções não-lineares de y como \sin(y), \exp(y), y^2 etc.).
Observação: no caso ordem 0 a forma linear seria simplesmente a_0(t)\,y=g(t), isto é, y aparece de modo linear (coeficiente que depende só de t).

Passo 4

Voltemos à equação
2\,t\,y+\sin(t+y)-\sin t=0.
  • O termo 2\,t\,y é linear em y porque é da forma coeficiente dependente só de t ( 2t) multiplicando y.
  • Porém o termo \sin(t+y) é uma função não-linear de y: dentro do seno aparece t+y, isto é, y está dentro de uma função não-linear \sin(\cdot). Não se pode reescrever \sin(t+y) como algo do tipo A(t)\,y+B(t) para coeficientes A,B que dependam só de t. Assim esse termo quebra a linearidade.
Portanto a presença de \sin(t+y) torna a equação não-linear em y.

Passo 5

Conclusão final e interpretação útil para a prova:
  • Como não há nenhuma derivada de y, a equação não envolve ordens positivas de derivada — isto leva a dizer que a ordem, no sentido de equações diferenciais, é \,0 (ou alternativamente: não é uma equação diferencial propriamente dita porque não contém derivadas).
  • Pela definição de linearidade, a presença de \sin(t+y) (função não-linear de y) faz a equação ser não-linear.
Força aí — essa identificação é bem direta: primeiro procura as derivadas (para achar a ordem), depois verifica se y e suas derivadas aparecem só multiplicados por funções de t (para checar linearidade).

Resposta

Ordem: 0
Linearidade: não-linear

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