Nas alternativas abaixo, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não-linear.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação
e pede duas coisas:
- Determinar a ordem da equação diferencial.
- Dizer se a equação é linear ou não-linear.
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
(função de ). - A variável independente é
. - A equação escrita envolve
, e funções trigonométricas, conforme mostrado acima. - Não há nenhuma derivada explícita escrita na equação (nenhum
, , etc.) — isso é um ponto que será analisado no próximo passo.
Passo 2
O que significa “ordem” numa equação diferencial?
- Ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas da função incógnita que aparece na equação. Por exemplo, se a equação contém
mas não contém , a ordem é .
Agora olhamos para a equação dada e procuramos derivadas de
. Escrevendo-a de forma mais clara:
Aqui não aparece nenhuma derivada de
(nenhum termo do tipo
,
,
). Logo:
- Não há derivadas; portanto a equação não contém ordens positivas de derivada.
Conclusão sobre ordem: se for tratada no contexto de “equação diferencial”, o maior número de derivadas presente é. Em muitas referências isso é dito como ordem (ou se preferir, dizer que não é, estritamente, uma equação diferencial porque não envolve derivadas).
Passo 3
Agora vamos analisar linearidade. Primeiro, o que é uma equação diferencial linear?
- Uma equação diferencial de ordem
é linear se puder ser escrita na forma
onde os coeficientes
e o termo conhecido
dependem só de
(não dependem de
), e
e suas deriva-das aparecem apenas na primeira potência (sem produtos entre elas, sem funções não-lineares de
como
,
,
etc.).
Observação: no caso ordem
a forma linear seria simplesmente
, isto é,
aparece de modo linear (coeficiente que depende só de
).
Passo 4
Voltemos à equação
- O termo
é linear em porque é da forma coeficiente dependente só de ( ) multiplicando . - Porém o termo
é uma função não-linear de : dentro do seno aparece , isto é, está dentro de uma função não-linear . Não se pode reescrever como algo do tipo para coeficientes que dependam só de . Assim esse termo quebra a linearidade.
Portanto a presença de
torna a equação não-linear em
.
Passo 5
Conclusão final e interpretação útil para a prova:
- Como não há nenhuma derivada de
, a equação não envolve ordens positivas de derivada — isto leva a dizer que a ordem, no sentido de equações diferenciais, é (ou alternativamente: não é uma equação diferencial propriamente dita porque não contém derivadas). - Pela definição de linearidade, a presença de
(função não-linear de ) faz a equação ser não-linear.
Força aí — essa identificação é bem direta: primeiro procura as derivadas (para achar a ordem), depois verifica se
e suas derivadas aparecem só multiplicados por funções de
(para checar linearidade).
Resposta
Ordem:
Linearidade: não-linear
Linearidade: não-linear