Um decorador tem 36 flores vermelhas e 48 flores brancas. Ele deseja fazer buquês com o mesmo número de flores de cada cor em cada buquê. Qual é o maior número de flores que ele pode colocar em cada buquê?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 12

Passo 1

O enunciado dá as quantidades de flores por cor:
  • 36 flores vermelhas.
  • 48 flores brancas.
O que se pede:
  • Qual é o maior número de flores que ele pode colocar em cada buquê, sabendo que todos os buquês devem ter a mesma composição (ou seja, o mesmo número de flores vermelhas e o mesmo número de flores brancas em cada buquê) e que as flores são distribuídas em buquês inteiros (não dá para cortar flores).

Passo 2

Modelando o problema: seja n o número de buquês que o decorador vai fazer. Então:
  • o número de flores vermelhas em cada buquê é \dfrac{36}{n},
  • o número de flores brancas em cada buquê é \dfrac{48}{n}.
Para que essas quantidades sejam inteiras, n precisa ser um divisor comum de 36 e 48. Ou seja, n deve dividir simultaneamente 36 e 48.

Passo 3

Queremos que os buquês sejam todos idênticos e que não sobrem flores (interpretação usual deste tipo de problema). Assim, devemos escolher n como um divisor comum de 36 e 48. Se escolhermos o maior divisor comum, obtemos o maior número possível de buquês idênticos — e então o número de flores por buquê será \dfrac{36+48}{n}=\dfrac{84}{n}. Aqui a estratégia é encontrar o maior divisor comum (o máximo divisor comum, MDC ou \gcd) de 36 e 48.

Passo 4

Calcular o \gcd(36,48) por fatoração prima:
36 = 2^{2}\cdot 3^{2}, \qquad 48 = 2^{4}\cdot 3^{1}.
O \gcd é o produto das potências com expoentes mínimos:
\gcd(36,48)=2^{\min(2,4)}\cdot 3^{\min(2,1)}=2^{2}\cdot 3^{1}=4\cdot 3=12.
Portanto o maior número de buquês idênticos que se pode fazer sem sobrar flores é n=12.

Passo 5

Agora calcule quantas flores há em cada buquê quando n=12:
  • flores vermelhas por buquê: \dfrac{36}{12}=3,
  • flores brancas por buquê: \dfrac{48}{12}=4.
Logo cada buquê terá 3+4=7 flores.

Passo 6

Interpretação final e checagem: com 12 buquês, distribui-se exatamente todas as 36 vermelhas e 48 brancas, cada buquê tem a mesma composição (3 vermelhas e 4 brancas )\, e o número de flores por buquê é 7. Esse é o número de flores por buquê obtido a partir da maior divisão possível em buquês idênticos sem sobrar flor.

Resposta

B) 7

Exercícios relacionados