Um decorador tem 36 flores vermelhas e 48 flores brancas. Ele deseja fazer buquês com o mesmo número de flores de cada cor em cada buquê. Qual é o maior número de flores que ele pode colocar em cada buquê?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 12
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
E) 12
Passo 1
O enunciado dá as quantidades de flores por cor:
-
flores vermelhas. -
flores brancas.
O que se pede:
- Qual é o maior número de flores que ele pode colocar em cada buquê, sabendo que todos os buquês devem ter a mesma composição (ou seja, o mesmo número de flores vermelhas e o mesmo número de flores brancas em cada buquê) e que as flores são distribuídas em buquês inteiros (não dá para cortar flores).
Passo 2
Modelando o problema: seja
o número de buquês que o decorador vai fazer. Então:
- o número de flores vermelhas em cada buquê é
, - o número de flores brancas em cada buquê é
.
Para que essas quantidades sejam inteiras,
precisa ser um divisor comum de
e
. Ou seja,
deve dividir simultaneamente
e
.
Passo 3
Queremos que os buquês sejam todos idênticos e que não sobrem flores (interpretação usual deste tipo de problema). Assim, devemos escolher
como um divisor comum de
e
. Se escolhermos o maior divisor comum, obtemos o maior número possível de buquês idênticos — e então o número de flores por buquê será
. Aqui a estratégia é encontrar o maior divisor comum (o máximo divisor comum, MDC ou
) de
e
.
Passo 4
Calcular o
por fatoração prima:
O
é o produto das potências com expoentes mínimos:
Portanto o maior número de buquês idênticos que se pode fazer sem sobrar flores é
.
Passo 5
Agora calcule quantas flores há em cada buquê quando
:
- flores vermelhas por buquê:
, - flores brancas por buquê:
.
Logo cada buquê terá
flores.
Passo 6
Interpretação final e checagem: com
buquês, distribui-se exatamente todas as
vermelhas e
brancas, cada buquê tem a mesma composição
vermelhas e
brancas
e o número de flores por buquê é
. Esse é o número de flores por buquê obtido a partir da maior divisão possível em buquês idênticos sem sobrar flor.
Resposta
B) 7