Resolva as equações diferenciais.
\left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}=1

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação diferencial
\left(y^{2}+x y^{2}\right) y^{\prime}=1.
Informações dadas e o que procurar:
  • A incógnita é y como função de x, e y^{\prime} significa \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação relaciona x, y e y^{\prime}.
  • Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral com uma constante de integração.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: simplificar o fator comum em y^{2}+x y^{2}. Como y^{2} é fator comum, a equação pode ser escrita como
y^{2}(1+x)\,y^{\prime}=1.
Agora isolo y^{\prime} (ou seja \dfrac{dy}{dx}) dividindo ambos os lados por y^{2}(1+x), lembrando que isso exige y\neq 0 e x\neq -1:
y^{\prime}=\frac{1}{y^{2}(1+x)}\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{1}{y^{2}(1+x)}.
Observação importante: ao dividir por y^{2} assumiu-se y\neq0. Veremos depois que y\equiv0 não é solução da equação original.

Passo 3

A equação está em forma que permite separação de variáveis (colocar termos com y de um lado e termos com x do outro). Faço isso multiplicando ambos os lados por y^{2}dx:
y^{2}\,dy=\frac{dx}{1+x}.
Aqui usei a interpretação diferencial usual: partir de \dfrac{dy}{dx}=\cdots e multiplicar por dx para obter uma expressão com dy e dx.

Passo 4

Integro ambos os lados. Explico as integrais que vou usar:
  • Regra do poder: \displaystyle\int y^{n}\,dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1.
  • Integral básica: \displaystyle\int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|+C.
Aplicando as integrais:
\int y^{2}\,dy=\int\frac{dx}{1+x}.
Calculo cada lado:
\frac{y^{3}}{3}=\ln|1+x|+C,
onde C é a constante de integração (já juntei as constantes num único C).

Passo 5

Isolo y. Multiplico ambos os lados por 3:
y^{3}=3\ln|1+x|+C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Para simplificar, escrevo novamente com uma constante C:
y^{3}=3\ln|1+x|+C.
Tomando a raiz cúbica dos dois lados (a raiz cúbica real está bem definida para qualquer sinal do argumento), obtenho a solução geral:
y=\bigl(3\ln|1+x|+C\bigr)^{1/3}.
Observação: por convenção podemos tomar a raiz cúbica real, que aceita argumentos negativos.

Passo 6

Condições de validade e observações importantes para a prova (não pule isso!):
  • A separação exigiu divisão por y^{2}, então soluções com y=0 em algum ponto não estão cobertas por esse processo. Verificando diretamente na equação original, y\equiv0 levaria a 0\cdot y^{\prime}=1, ou seja 0=1, impossível. Logo y nunca pode ser zero em soluções reais; portanto a divisão por y^{2} foi legítima ao procurar soluções reais.
  • Também aparece \ln|1+x|, então a expressão exige x\neq -1. A solução é válida em intervalos que não contenham x=-1.
  • Além disso, a constante C não pode ser tal que 3\ln|1+x|+C=0 para algum x do intervalo considerado, porque isso faria y=0 nesse ponto (o que não é permitido). Na prática, cada solução real contínua se define em um intervalo onde 1+x tem sinal fixo e 3\ln|1+x|+C mantém-se diferente de zero.
  • Se houver uma condição inicial y(x_{0})=y_{0}, basta substituir para encontrar C: C=y_{0}^{3}-3\ln|1+x_{0}|.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (útil na prova): se tivesse y(0)=1, então
1^{3}=3\ln|1+0|+C \quad\Rightarrow\quad 1=0+C \quad\Rightarrow\quad C=1.
Assim a solução particular seria
y=\bigl(3\ln|1+x|+1\bigr)^{1/3}.

Resposta

y=\bigl(3\ln|1+x|+C\bigr)^{1/3}

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