Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que procurar:
- A incógnita é
como função de , e significa . - A equação relaciona
, e . - Não há condição inicial fornecida, então buscamos a solução geral com uma constante de integração.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: simplificar o fator comum em
. Como
é fator comum, a equação pode ser escrita como
Agora isolo
(ou seja
) dividindo ambos os lados por
, lembrando que isso exige
e
:
Observação importante: ao dividir por
assumiu-se
. Veremos depois que
não é solução da equação original.
Passo 3
A equação está em forma que permite separação de variáveis (colocar termos com
de um lado e termos com
do outro). Faço isso multiplicando ambos os lados por
:
Aqui usei a interpretação diferencial usual: partir de
e multiplicar por
para obter uma expressão com
e
.
Passo 4
Integro ambos os lados. Explico as integrais que vou usar:
- Regra do poder:
para . - Integral básica:
.
Aplicando as integrais:
Calculo cada lado:
onde
é a constante de integração (já juntei as constantes num único
).
Passo 5
Isolo
. Multiplico ambos os lados por
:
onde
é outra constante arbitrária. Para simplificar, escrevo novamente com uma constante
:
Tomando a raiz cúbica dos dois lados (a raiz cúbica real está bem definida para qualquer sinal do argumento), obtenho a solução geral:
Observação: por convenção podemos tomar a raiz cúbica real, que aceita argumentos negativos.
Passo 6
Condições de validade e observações importantes para a prova (não pule isso!):
- A separação exigiu divisão por
, então soluções com em algum ponto não estão cobertas por esse processo. Verificando diretamente na equação original, levaria a , ou seja , impossível. Logo nunca pode ser zero em soluções reais; portanto a divisão por foi legítima ao procurar soluções reais. - Também aparece
, então a expressão exige . A solução é válida em intervalos que não contenham . - Além disso, a constante
não pode ser tal que para algum do intervalo considerado, porque isso faria nesse ponto (o que não é permitido). Na prática, cada solução real contínua se define em um intervalo onde tem sinal fixo e mantém-se diferente de zero. - Se houver uma condição inicial
, basta substituir para encontrar : .
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (útil na prova): se tivesse
, então
Assim a solução particular seria