Zero circulation Let C be the ellipse in which the plane 2 x+3 y-z=0 meets the cylinder x^{2}+y^{2}=12. Show, without evaluating either line integral directly, that the circulation of the field \mathbf{F}=x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k} around C in either direction is zero.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma coisa bem clara:
  • A curva C é a interseção da reta do plano 2x+3y-z=0 com o cilindro x^{2}+y^{2}=12. Essa interseção é uma elipse fechada no espaço.
  • O campo vetorial é \mathbf{F}=x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
  • O que se pede: mostrar, sem calcular diretamente integrais de linha, que a circulação de \mathbf{F} ao longo de C (isto é, \displaystyle\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}) vale zero, independentemente do sentido de percorre C.

Passo 2

Vamos lembrar duas ideias que são úteis (explicadas de forma simples e sem pular etapas):
  1. Se um campo vetorial \mathbf{F} é gradiente de alguma função escalar \varphi (ou seja, \mathbf{F}=\nabla\varphi numa região que contém a curva), então a integral de linha ao longo de uma curva fechada C é zero, porque a integral de linha de um gradiente depende só dos extremos:
\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}= \varphi(\text{fim})-\varphi(\text{início}) = 0í
quando a curva é fechada (início = fim). Isso é a versão vetorial do “teorema fundamental do cálculo” para campos gradiente.
  1. Outra ideia equivalente que às vezes se usa é o Teorema de Stokes (ou a versão bidimensional conhecida como Teorema de Green): a circulação de \mathbf{F} ao redor de C é igual à integral de superfície da componente normal de \nabla\times\mathbf{F} numa superfície S que tenha C como contorno:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot \mathbf{n}\,dS.
Se \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em S, então a circulação é zero.
Vou usar essas duas ideias (mostrando que \mathbf{F} é gradiente e que \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}) porque elas evitam cálculo direto e são as formas mais simples de concluir que a circulação é zero.

Passo 3

Calcular o rotacional de \mathbf{F} (ou seja, \nabla\times\mathbf{F}) passo a passo. Para \mathbf{F}=(F_1,F_2,F_3)=(x,y,z) usamos a definição componente a componente:
\nabla\times\mathbf{F}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\\ F_1 & F_2 & F_3 \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
  • Componente em \mathbf{i}: \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial y}{\partial z}=0-0=0.
  • Componente em \mathbf{j}: \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}=0-0=0.
  • Componente em \mathbf{k}: \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial y}{\partial x}-\frac{\partial x}{\partial y}=0-0=0.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}.

Passo 4

Explicar por que \mathbf{F} é gradiente de uma função escalar e construir essa função (potencial) explicitamente. Observe:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}z^{2}\right)=x,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}z^{2}\right)=y,
\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}y^{2}+\tfrac{1}{2}z^{2}\right)=z.
Logo, definindo
\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr),
temos \nabla\varphi=\mathbf{F}. Ou seja, \mathbf{F} é um campo gradiente (conservativo), e a função potencial \varphi está definida e é suave em todo \mathbb{R}^{3}.

Passo 5

Concluir a circulação usando a propriedade de campos gradiente. Como \mathbf{F}=\nabla\varphi com \varphi definida globalmente e C é uma curva fechada, pelo teorema fundamental para integrais de linha:
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}\nabla\varphi\cdot d\mathbf{r}=\varphi(\text{ponto final})-\varphi(\text{ponto inicial})=0.
Portanto a circulação ao longo de C é zero. Isso vale independentemente do sentido em que a curva é percorrida: se inverter o sentido, o sinal da integral mudaria, mas 0 continua sendo 0.

Passo 6

(Comentário alternativo, útil para compreensão) Se preferir ver pelo Teorema de Stokes: como \nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0} em toda a superfície do plano limitada por C, então
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\iint_{S}(\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathbf{n}\,dS= \iint_{S} \mathbf{0}\cdot\mathbf{n}\,dS = 0.
Esse raciocínio é equivalente ao do potencial e reforça a conclusão sem calcular nada diretamente.

Resposta

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