Leia com atenção as afirmações:
(I) A série de potências de f(x)=\frac{9}{(3+x)^{2}}, em torno de \boldsymbol{a}=0, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1) x^{n}}{3^{n}};
(II) A série de potências de \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t, em torno de a=0, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{4 n+1}}{(4 n+1)(2 n) \text { ! }}.
(III) A expansão em série de Taylor de f(x)=3^{x}, em torno de a=2, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!};
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
◯ FFV
◯ F V F
◯ VVV
◯ VFV
◯ FVV
◯ VFF
◯ FFF
◯ VVF
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado afirma e o que precisamos decidir (verdadeiro ou falso) para cada item:
(I) A série de potências de f(x)=\dfrac{9}{(3+x)^{2}}, em torno de a=0, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1) x^{n}}{3^{n}}.
(II) A série de potências de \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \,dt, em torno de a=0, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{4 n+1}}{(4 n+1)(2 n)!\,}.
(III) A expansão em série de Taylor de f(x)=3^{x}, em torno de a=2, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!}.
A tarefa: verificar a veracidade de (I), (II) e (III) com justificativas passo a passo.
Passo 2
Analisando (I): escrever f(x) de forma conveniente para aplicar a série conhecida.
Calcular \binom{-2}{n}. Usando a identidade geral \binom{-k}{n}=(-1)^n\binom{n+k-1}{n} (que se obtém manipulando o produto na definição), para k=2 temos
Agora integrar termo a termo de 0 a x (isso é permitido dentro do raio de convergência da série; aqui a série de e^{-t^{2}} converge absolutamente para todo t, então a integração termo-a-termo é válida):
No denominador correto aparece (2n+1)\,n!, enquanto no enunciado aparece (4n+1)(2n)!.
Portanto a expressão proposta no item (II) não coincide com o resultado correto; (II) é falsa.
Passo 5
Algumas palavras de didática rápida sobre por que integramos termo a termo: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo compacto dentro do raio de convergência, de modo que integração e diferenciação termo a termo são operações válidas dentro desse raio. No caso de e^{-t^{2}} a série converge para todo t, então é seguro integrar termo a termo entre 0 e x.
Passo 6
Analisando (III): expandir 3^{x} em série de Taylor em torno de a=2.
Escrever 3^{x} de forma conveniente usando exponencial:
3^{x}=e^{x\ln 3}.
Para desenvolver em torno de x=2 é conveniente escrever