Leia com atenção as afirmações:
(I) A série de potências de f(x)=\frac{9}{(3+x)^{2}}, em torno de \boldsymbol{a}=0, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1) x^{n}}{3^{n}};
(II) A série de potências de \int_{0}^{x} e^{-t^{2}} d t, em torno de a=0, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{4 n+1}}{(4 n+1)(2 n) \text { ! }}.
(III) A expansão em série de Taylor de f(x)=3^{x}, em torno de a=2, é \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!};
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
◯ FFV
◯ F V F
◯ VVV
◯ VFV
◯ FVV
◯ VFF
◯ FFF
◯ VVF

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado afirma e o que precisamos decidir (verdadeiro ou falso) para cada item:
  • (I) A série de potências de f(x)=\dfrac{9}{(3+x)^{2}}, em torno de a=0, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(n+1) x^{n}}{3^{n}}.
  • (II) A série de potências de \displaystyle\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} \,dt, em torno de a=0, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n} x^{4 n+1}}{(4 n+1)(2 n)!\,}.
  • (III) A expansão em série de Taylor de f(x)=3^{x}, em torno de a=2, é \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!}.
A tarefa: verificar a veracidade de (I), (II) e (III) com justificativas passo a passo.

Passo 2

Analisando (I): escrever f(x) de forma conveniente para aplicar a série conhecida.
Começo manipulando a função:
f(x)=\frac{9}{(3+x)^{2}}.
Fatore 3 em (3+x):
(3+x)^{2} = 3^{2}\left(1+\frac{x}{3}\right)^{2}.
Logo
f(x)=\frac{9}{3^{2}\left(1+\dfrac{x}{3}\right)^{2}} = \frac{9}{9}\left(1+\frac{x}{3}\right)^{-2} = \left(1+\frac{x}{3}\right)^{-2}.

Passo 3

Explicar e usar a série binomial para expoente negativo:
A série binomial generalizada diz que, para |u|<1,
(1+u)^{\alpha} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{\alpha}{n} u^{n},
onde
\binom{\alpha}{n}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}.
No nosso caso \alpha=-2 e u=\dfrac{x}{3}. Assim
\left(1+\frac{x}{3}\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty} \binom{-2}{n}\left(\frac{x}{3}\right)^{n}.
Calcular \binom{-2}{n}. Usando a identidade geral \binom{-k}{n}=(-1)^n\binom{n+k-1}{n} (que se obtém manipulando o produto na definição), para k=2 temos
\binom{-2}{n}=(-1)^{n}\binom{n+1}{n}=(-1)^{n}(n+1).
Portanto
\left(1+\frac{x}{3}\right)^{-2}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}(n+1)\left(\frac{x}{3}\right)^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(n+1)x^{n}}{3^{n}}.
Condição de validade: a série converge para \left|\dfrac{x}{3}\right|<1, ou seja |x|<3.
Conclusão parcial: a expressão dada no item (I) coincide exatamente com a série que encontramos, logo (I) é verdadeira.

Passo 4

Analisando (II): começar expandindo e^{-t^{2}} como série de potências em torno de t=0.
Lembrar da série de Taylor de e^{u}:
e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}\quad\text{para todo }u.
Tomando u=-t^{2} obtém-se
e^{-t^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{n!}.
Agora integrar termo a termo de 0 a x (isso é permitido dentro do raio de convergência da série; aqui a série de e^{-t^{2}} converge absolutamente para todo t, então a integração termo-a-termo é válida):
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt = \int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} t^{2n}}{n!}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt.
Calcule a integral de t^{2n}:
\int_{0}^{x} t^{2n}\,dt = \frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
Logo
\int_{0}^{x} e^{-t^{2}}\,dt = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} x^{2n+1}}{(2n+1)\,n!}.
Compare com a série dada no enunciado:
\text{enunciado: }\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n} x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}.
Observações claras:
  • Na série correta os expoentes são 2n+1, não 4n+1.
  • No denominador correto aparece (2n+1)\,n!, enquanto no enunciado aparece (4n+1)(2n)!.
    Portanto a expressão proposta no item (II) não coincide com o resultado correto; (II) é falsa.

Passo 5

Algumas palavras de didática rápida sobre por que integramos termo a termo: uma série de potências converge uniformemente em qualquer intervalo compacto dentro do raio de convergência, de modo que integração e diferenciação termo a termo são operações válidas dentro desse raio. No caso de e^{-t^{2}} a série converge para todo t, então é seguro integrar termo a termo entre 0 e x.

Passo 6

Analisando (III): expandir 3^{x} em série de Taylor em torno de a=2.
Escrever 3^{x} de forma conveniente usando exponencial:
3^{x}=e^{x\ln 3}.
Para desenvolver em torno de x=2 é conveniente escrever
3^{x}=3^{2}\cdot 3^{x-2}=9\cdot e^{(x-2)\ln 3}.
Agora usar a série da exponencial:
e^{(x-2)\ln 3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!}.
Multiplicando por 9 obtém-se a expansão de Taylor em torno de 2:
3^{x}=9\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{9(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!}.
Comparação com o que foi dado no item (III):
\text{enunciado: }\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}(x-2)^{n}}{n!}.
Falta o fator 9 (que é 3^{2}=3^{a}, pois ao expandir em torno de a aparece f(a) multiplicando a série de e^{(x-a)\ln 3}). Portanto (III) é falsa.

Passo 7

Resumo das conclusões (sem escolher ainda a alternativa):
  • (I) é verdadeira.
  • (II) é falsa.
  • (III) é falsa.

Resposta

VFF

Exercícios relacionados