A integral
converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
a.
.
b.
.
c.
.
d.
.
e.
.
f.
.
Passo 1
O enunciado dá a integral imprópria
e pede verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular o seu valor. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O intervalo de integração é
. - No ponto
temos , ou seja, o integrando fica singular em . Portanto trata-se de uma integral imprópria do tipo com singularidade no extremo direito. - A tarefa é avaliar o valor numérico da integral (ou provar que diverge).
Passo 2
Primeiro definimos a integral imprópria como um limite. Escrevemos
Se esse limite existir e for finito, a integral converge. A seguir vamos calcular a primitiva e então tomar o limite. Para integrar a função é conveniente usar uma substituição trigonométrica porque aparece
(forma
).
Passo 3
Fazemos a substituição típica para
: coloque
Explicando: com essa escolha temos
(assumindo
, o que ocorre para
). Calculamos também
:
Agora precisamos transformar os limites: quando
temos
, logo o limite inferior é
. Quando
temos
, ou seja
. Assim o intervalo em
é
.
Passo 4
Substituindo na integral:
Portanto
Passo 5
Agora precisamos integrar
. Vou mostrar uma técnica padrão para achar a antiderivada: considere
Multiplicando numerador e denominador por
obtemos
Agora note que a derivada de
é
Logo tomando
temos
, e a integral fica
Substituindo
de volta:
Podemos usar também a forma equivalente (tirando o sinal e invertendo o argumento do log)
pois
até constante multiplicativa que entra no log.
Passo 6
Usamos a antiderivada para avaliar a integral definida:
Agora calculamos os valores nas extremidades. Para
temos
,
, então
e
.
Para
usamos
. Então
Logo
Portanto
Passo 7
Substituindo na expressão da integral:
Agora simplificamos o log usando racionalização: note que
Assim
Finalmente obtemos
Como obtivemos um número finito, a integral converge.
Resposta
(f)