A integral \int_{2}^{3} \frac{d x}{x \sqrt{9-x^{2}}} converge e seu valor é:
Escolha uma opção:
\bigcirc a. \frac{1}{3} \ln \left(\frac{5}{2}\right).
\bigcirc b. \frac{1}{3} \ln \left(\frac{7}{6}+\frac{\sqrt{5}}{2}\right).
\bigcirc c. \ln \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right).
\bigcirc d. -\frac{1}{3}+\frac{1}{3} \ln \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).
\bigcirc e. \frac{\sqrt{5}}{2}.
\bigcirc f. \frac{1}{3} \ln \left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right).

Passo 1

O enunciado dá a integral imprópria
\int_{2}^{3} \frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}}
e pede verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular o seu valor. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O intervalo de integração é [2,3].
  • No ponto \,x=3 temos \sqrt{9-x^{2}}=0, ou seja, o integrando fica singular em x=3. Portanto trata-se de uma integral imprópria do tipo com singularidade no extremo direito.
  • A tarefa é avaliar o valor numérico da integral (ou provar que diverge).

Passo 2

Primeiro definimos a integral imprópria como um limite. Escrevemos
\int_{2}^{3}\frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}}=\lim_{b\to 3^{-}}\int_{2}^{b}\frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}}.
Se esse limite existir e for finito, a integral converge. A seguir vamos calcular a primitiva e então tomar o limite. Para integrar a função é conveniente usar uma substituição trigonométrica porque aparece \sqrt{9-x^{2}} (forma \sqrt{a^{2}-x^{2}}).

Passo 3

Fazemos a substituição típica para \sqrt{a^{2}-x^{2}}: coloque
x=3\sin\theta.
Explicando: com essa escolha temos \sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}=3\cos\theta (assumindo \cos\theta\ge0, o que ocorre para \theta\in[0,\pi/2]). Calculamos também dx:
dx=3\cos\theta\,d\theta.
Agora precisamos transformar os limites: quando x=2 temos \sin\theta=\tfrac{2}{3}, logo o limite inferior é \theta_{1}=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right). Quando x\to3^{-} temos \sin\theta\to1^{-}, ou seja \theta\to\frac{\pi}{2}^{-}. Assim o intervalo em \theta é \big[\arcsin(\tfrac{2}{3}),\,\tfrac{\pi}{2}\big).

Passo 4

Substituindo na integral:
\frac{1}{x\sqrt{9-x^{2}}}\,dx = \frac{1}{(3\sin\theta)\,(3\cos\theta)}\cdot(3\cos\theta\,d\theta) =\frac{1}{3}\csc\theta\,d\theta.
Portanto
\int_{2}^{3}\frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}} =\lim_{\theta\to(\pi/2)^{-}}\frac{1}{3}\int_{\arcsin(2/3)}^{\theta}\csc\varphi\,d\varphi =\frac{1}{3}\int_{\arcsin(2/3)}^{\pi/2}\csc\theta\,d\theta.

Passo 5

Agora precisamos integrar \csc\theta. Vou mostrar uma técnica padrão para achar a antiderivada: considere
\int \csc\theta\,d\theta.
Multiplicando numerador e denominador por \csc\theta+\cot\theta obtemos
\int \csc\theta\,d\theta =\int \frac{\csc\theta(\csc\theta+\cot\theta)}{\csc\theta+\cot\theta}\,d\theta =\int \frac{\csc^{2}\theta+\csc\theta\cot\theta}{\csc\theta+\cot\theta}\,d\theta.
Agora note que a derivada de \csc\theta+\cot\theta é
\frac{d}{d\theta}(\csc\theta+\cot\theta)=-(\csc\theta\cot\theta+\csc^{2}\theta).
Logo tomando u=\csc\theta+\cot\theta temos du=-(\csc^{2}\theta+\csc\theta\cot\theta)\,d\theta, e a integral fica
\int \csc\theta\,d\theta = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u|+C.
Substituindo u de volta:
\int \csc\theta\,d\theta = -\ln|\csc\theta+\cot\theta|+C.
Podemos usar também a forma equivalente (tirando o sinal e invertendo o argumento do log)
\int \csc\theta\,d\theta = \ln|\csc\theta-\cot\theta|+C,
pois \csc\theta-\cot\theta=(\csc\theta+\cot\theta)^{-1} até constante multiplicativa que entra no log.

Passo 6

Usamos a antiderivada para avaliar a integral definida:
\frac{1}{3}\int_{\arcsin(2/3)}^{\pi/2}\csc\theta\,d\theta =\frac{1}{3}\Big[ \ln|\csc\theta-\cot\theta|\Big]_{\theta=\arcsin(2/3)}^{\theta=\pi/2}.
Agora calculamos os valores nas extremidades. Para \theta=\pi/2 temos \sin(\pi/2)=1, \cos(\pi/2)=0, então
\csc\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cot\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-0=1,
e \ln 1=0.
Para \theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right) usamos \sin\theta=\tfrac{2}{3}. Então
\cos\theta=\sqrt{1-\sin^{2}\theta}=\sqrt{1-\tfrac{4}{9}}=\sqrt{\tfrac{5}{9}}=\tfrac{\sqrt{5}}{3}.
Logo
\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{3}{2},\qquad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{\tfrac{\sqrt{5}}{3}}{\tfrac{2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}.
Portanto
\csc\theta-\cot\theta=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}.

Passo 7

Substituindo na expressão da integral:
\int_{2}^{3}\frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}} =\frac{1}{3}\Big(0-\ln\!\left(\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)\Big) =-\frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right).
Agora simplificamos o log usando racionalização: note que
\frac{1}{\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{3-\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{9-5}=\frac{2(3+\sqrt{5})}{4}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}.
Assim
-\ln\!\left(\tfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right)=\ln\!\left(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right).
Finalmente obtemos
\int_{2}^{3}\frac{dx}{x\sqrt{9-x^{2}}}=\frac{1}{3}\ln\!\left(\tfrac{3+\sqrt{5}}{2}\right).
Como obtivemos um número finito, a integral converge.

Resposta

(f) \frac{1}{3}\ln\!\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)

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